不想起标题

蓝桥杯波动数列

题目描述：
观察这个数列：
1 3 0 2 -1 1 -2 …
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。
栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式
输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式
输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入
4 10 2 3

样例输出
2

样例说明
这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

首先，我们定义一个动态规划数组 dp

• 我们使用 dp[i][j] 来表示选了 i 个数，前 i 个 d（d表示+a或-b） 的和模 n 的余数为 j 的选法数量。
• 具体来说，dp[i][j] 表示了一种状态，即选了 i 个数，且它们的和模 n 的余数为 j。
• i：表示当前选了多少个数。在动态规划的过程中，我们会从 i = 0 开始递推，逐渐增加到 n。
• j：表示当前的余数。在求解过程中，我们需要考虑每个数列的和模 n 的余数，因此 j 表示了这个余数。

数组的大小应该足够容纳所有可能的状态。在这个问题中，长度为 n 的数列的和模 n 可以取值范围为 0 到 n-1。因此，我们需要一个 (n+1) * (n+1) 的数组来确保所有可能的情况都被覆盖到。

接下来，我们来看递推公式。根据题目的特性，数列中的每一项都是在前一项的基础上加 a 或减 b 得到的。因此，对于长度为 i+1 的数列，我们可以根据前一项的和来推导当前项的和。如果当前项选择加 a，则和变为 (j - a) % n；如果当前项选择减 b，则和变为 (j + b) % n。因此，递推公式可以写为：

dp[i][j]=dp[i−1][(j−a*i)%n]+dp[i−1][(j+b*i)%n]

在递推公式中，我们考虑了数列的长度增加，而 a 和 b 是数列每一项增加或减少的值。当数列长度增加时，每一项增加或减少的值也应该相应地增加。因此，在递推公式中，我们将 a 和 b 分别乘以当前数列的长度 i，以确保在每次状态转移中，数列的增量与长度成比例。

最后，我们来初始化 dp 数组。我们需要确保数列的长度至少为 1，因此初始化时，dp[0][0] = 1 表示长度为 1 的数列的和模 n 等于 0 的方案数为 1，其余初始化为 0。

状态方程推导可参考这篇文章
链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_63613132/article/details/129640870

下面看看代码：

import os
import sys
def count_sequences(n, s, a, b):
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(n):
            dp[i][j] = (dp[i - 1][(j - a*i) % n] + dp[i - 1][(j + b*i) % n]) %(1e8+7)

    return int(dp[n - 1][s % n])


n, s, a, b = map(int, input().split())


print(count_sequences(n, s, a, b))