平面直角坐标变换

一  平移坐标变换

    定义：若二平面直角坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}满足i=i′，j=j′，则坐标系{O′；i′，j′}可看成是由{O；i，j}经过平移得到的，称由坐标系{O；i，j}到坐标系{O′；i′，j′}的变换为平移坐标变换。

       平移变换公式

       设平面上一点M在新系{O′；i′，j′}与旧系{O；i，j}下的坐标分别为

      （x′，y′），（x,y），而O′在旧系下的坐标为（a,b），则

       xi+yj=  = + =ai+bj+x′i′+y′j′

            =ai+bj+x′i+y′j=（a+x′）i+（b+y′）j

        ∴    ——平移坐标变换公式

二  旋转坐标变换：

 定义：若二坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}满足O≡O′，另∠（i，j′）=θ

        则坐标系{O′；i′，j′}可看成是由坐标系{O；i，j}绕O旋转θ角得到的，称由{O；i，j}到{O′；i′，j′}的变换为旋转坐标变换。

       旋转变换公式

由于∠（i，i′）=0，∴∠（i，j′）= +θ

   ∴i′=cosθi+sinθj，j′=cos（ +θ）i+sin（ +θ）j=-sinθi+cosθj

   ∴xi+yj= = =x′i′+y′j′=x′（cosθi+sinθj）+y′（-sinθi+cosθj）

          =（x′cosθ-y′sinθ）i+（x′sinθ+y′cosθ）j

   即  

   用x,y表示x′，y′，有

       

三   一般坐标变换：

  称由坐标系{O；i，j}得坐标系{O′；i′，j′}的变换为一般坐标变换。

注： 一般坐标变换可分两步来完成，首先将坐标系{O；i，j}平移成

   {O′；i′，j′}，再将此坐标系绕O′旋转θ=∠（i，i′）角，即得

   {O′；i′，j′}。

   一般变换公式：

   设平面上任一点关于旧系{O；i，j}与新系{O′；i′，j′}的坐标分别为（x,y）

   （x′，y′），关于{O′；i，j}的坐标为（x″，y″），而O′在{O；i，j}下的坐标为（a,b），则

         而

   

  ∴  

   用x,y表示x′，y′，有

   

注：上述坐标变换亦可先旋转，再平移而完成。

  例：设有二坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}，且知i′，j′所在直线在坐标系{O；i，j}下的方程为 x+ y+ =0， x+ y+ =0，试求坐标变换公式。

  解:设平面上任一点P在旧系与新系下的坐标分别为（x,y）（x′，y′）

     则P到i′所在直线的距离用新坐标表示为

    ∣y′∣=

    从而  y′=±

    同理  x′=±

    即     

   注：上式±号的选取应注意到

      ± =±  

   如i′所在直线为2x-y+3=0，j′所在直线为x+2y-2=0，则坐标变换公式为

       或  

四  坐标变换下，二次曲线方程的系数的变化规律：

  1 在平移下

    设将坐标原点平移O′（ ， ），则平移公式为

     

   则在新系{O′；i，j}≡ （x+ ）²+2 （ +x′）（ +y′）+ （ +y′）²

                       +2 （x′+ ）+2 （y′+ ）+ =0

    若记 （x′，y′）≡F（x′+ ，y′+ ）

                      = ′x′²+2 ′x′y′+ y′²+2 ′x′+2 ′+ ′，则 ′=           ′= + + =F1（ ， ）

       ′=           ′=a21 + + =F2（ ， ）

      ′=           ′= ²+2 + ²+2 +2 +

                               =F（ ， ）

   可见：在平移变换下，二次曲线方程的

    （1）二次项系数不变；

    （2）一次项系数变为 （ ， ）， （ ， ）；

    （3）常数项变为F（ ， ）。

   从而若取 （ ， ）为二次曲线F（x，y）=0的中心，则在新系下，方程中将无一次项。

 2 在旋转变换下，设旋转角为θ，则平面上一点在旧系与新系下的坐标（x,y）（x′，y′）间满足

  

   ∴二次曲线在新系下的方程为

    F′（x′，y′）=F（x′cosθ-y′sinθ，+x′sinθ+y′cosθ）

     = （x′cosθ-y′sinθ）²+2 （x′cosθ-y′sinθ）（+x′sinθ+y′cosθ）+

       （+x′sinθ+y′cosθ）²+2 （x′cosθ-y′sinθ）

+2 （+x′sinθ+y′cosθ）+   =0

若记F′（x′，y′）≡ ′x′²+2 ′x′y′+ ′y′²+2 ′x′+2 ′y′+ ′  则

 可见，在旋转变换下，二次曲线方程

  1）二次项系数一般可变，但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角θ有关；

  2）一次项系数一般也可边，但新方程中有一次项〈═〉旧方程有一次项；

  3）常数项不变。

 从 的公式表达式可见，若选取α角，使

  （

  即  ceg2θ=

  作旋转变换，则新方程中将不会交叉乘积项。

相关资料请留意http://blog.youkuaiyun.com/begtostudy 的更新。