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最新推荐文章于 2025-05-20 19:41:28 发布

beginendzrq

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分类专栏：数论文章标签：数论

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本文介绍了一种高效的数论算法，用于求解特定数学问题F(10^15)的值。该算法通过复杂的数学转换简化了原始问题，并将时间复杂度降低至O(√nlnn)，适用于大规模数值计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

orz rzz
题目大意：设 $f(n) = \sum_{d|n}gcd(d,\frac{n}{d})$ , $F(n) = \sum_{i = 1}^{n}f(i)$ ,求 $F(10^{15})$ 的值
题解： $F(n) = \sum_{i = 1}^n\sum_{d|i}gcd(d,\frac{i}d)$
$= \sum_d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d^2}}\sum_{d'|i}[gcd(d',\frac{i}{d'})==1]$
$= \sum_d\sum_{d'}d\mu(d')\sum_{i=1}^{\frac{n}{(dd')^2}}\sigma_0(i)$
$= \sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d^2}}\sigma_0(i)$
时间复杂度 $O(\sqrt{n}\ln n)$

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

const LL n = 1000000000000000;

LL sigma(LL n)
{
    LL ret = 0;
    for (LL i = 1,j;i <= n;i = j + 1)
    {
        j = min(n / (n / i),n);
        ret += (j - i + 1) * (n / i);
    }
    return ret;
}

LL phi(LL x)
{
    LL ret = 1;
    for (LL i = 2;i * i <= x;i ++)
        if (x % i == 0)
        {
            ret *= i - 1;
            for (x /= i;x % i == 0;ret *= i,x /= i);
        }
    if (x ^ 1) ret *= x - 1;
    return ret;
}

int main()
{
    LL ans = 0;
    for (LL d = 1;d * d <= n;d ++)
        ans += phi(d) * sigma(n / d / d);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}