拓展欧几里得算法详解-优快云博客

概念：

对于不全为0的非负整数 $a, b$ ， $\gcd(a, b)$ 表示 $a, b$ 的最大公约数，必然存在整数对 $x, y$ ，使得 $g c d (a, b) = a x + b y$ 。
给定 $a$ 和 $b$ ，拓展欧几里得算法可以计算出这个整数对 $x, y$ 。

证明&&基本算法：

（以下证明过程中所有的 $/$ 均为整除）

设 $a > b$ 。

$b = 0$
则 $\gcd(a,b)=a$ 。此时 $x = 1, y = 0$ 。
$b ̸ = 0$
$\because a>b>0$
$\therefore a\ne 0$
设 $ax1+\qquad b\qquad y1=\gcd(a,b)$
$\quad bx2+\ (a\bmod b)\ y2=\gcd(b,a\bmod b)$
$∵\gcd(a,b) = \gcd(b,a\bmod b)$ （欧几里得原理）
$bx2+(a\bmod b)y2$
$\!\begin{aligned} 即ax1+by1 &= bx2 + (a - (a/b) × b)y2 \\ &=bx2 + ay2-(a/b)×by2 \\ &=ay2 + bx2-(a/b) × by2 \end{aligned}$
根据恒等定理得 $x 1 = y 2, y 1 = x 2 - (a / b) \times y 2$
利用上式，我们就可以将求 $x 1, y 1$ 转化为求 $x 2, y 2$ 。

因为 $\gcd$ 不断的递归求解过程中，一定会出现 $b = 0$ 的情况，所以递归可以结束。

我们可以得出两点：

必然存在满足条件的整数对 $x, y$ ，原命题得证。
算法是正确的，且时间复杂度仅为 $\log$ 级别。

代码实现

递归实现的代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
//最终答案存在x和y里面，函数值返回的是两数的gcd
{
	if (b==0) //递归边界
	{
		x=1; //可参考证明过程
		y=0; //同上
		return a;
	}
	int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x; //t是临时变量，保留x的值
	x=y; //可参考证明过程
	y=t-a/b*y; //同上
	return r;
}

非递归实现（无需掌握，甚至都无需了解）

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 
//最终答案存在x和y里面，函数值返回的是两数的gcd
{
	int x1,y1,x0,y0;
	x0=1; y0=0;
	x1=0; y1=1;
	x=0; y=1;
	int r=m%n;
	int q=(m-r)/n; //等同于m/n
	while (r) //余数不为零
	{
		x=x0-q*x1;    y=y0-q*y1; //可参考证明过程
		x0=x1;        y0=y1;     //迭代
		x1=x;         y1=y;      //迭代
		m=n; n=r; r=m%n;
		q=(m-r)/n;
	}
	return n;
}

后记

拓展欧几里得算法也可以用来求 $a$ 膜 $b$ 意义下的逆元：

当 $\gcd(a,b)>1$ 时，显然逆元不存在；
当 $\gcd(a,b)=1$ 时，可用拓展欧几里得算法求出 $x, y$ 满足 $ax+by=\gcd(a,b)$ 。
在膜 $b$ 的意义下，上式即为 $ax\equiv 1 \pmod b$ 。所以 $x$ 就是 $a$ 膜 $b$ 意义下的逆元。