积性函数与线性筛

这篇文章只是为了复习线性筛用的，所以非常水
主要是给莫反的文章准备个前置 给欧拉函数的文章填个坑

前置芝士：莫比乌斯函数、欧拉函数相关性质

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积性函数

如果数论函数 $f$ 保证，在 $(x,y)=1$ 时， $f(xy)=f(x)\times f(y)$ ，那么 $f$ 是积性函数。
特别地，如果对于任意 $x,y$ 都有这个性质，则 $f$ 为完全积性函数。

所有的积性函数都可以线性筛。下面会有几个线性筛的板子，先放上对应的函数：

1. $p(x)=[isprime(x)]$ （$x$ 是质数时值为1，否则为0，我也不知道叫啥名字）
2. $\mu (x)$ 莫比乌斯函数，不多介绍了
3. $\phi (x)$ 欧拉函数，也不多说了

$p(x)$ 其实没啥用，它对应的线性筛其实就是最原本的线性筛筛素数。就是用来保持队形的

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线性筛

一种在线性复杂度内筛出 $1\sim n$ 中所有质数的算法。
在筛素数的基础上也可以筛各种积性函数。学习数论应该经常会用到这个技能

没啥技术含量 直接上板子就能看懂了 所以直接上板子吧

#include<cstdio>
const int n=1000000; 
int cnt,t,p[100000],v[n+10],mu[n+10],phi[n+10];
void wpri() { //prime
	for (int i=2; i<=n; ++i) {
		v[i]||(p[++cnt]=i);
		for (int j=1; j<=cnt&&1ll*p[j]*i<=n; ++j) {
			v[t=p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
void wmu() { //mu
	for (int i=2; i<=n; ++i) {
		v[i]||(p[++cnt]=i,mu[i]=-1);
		for (int j=1; j<=cnt&&1ll*p[j]*i<=n; ++j) {
			v[t=p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]==0) break;
			mu[t]=-mu[i];
		}
	}
}
void wphi() { //phi
	for (int i=2; i<=n; ++i) {
		v[i]||(p[++cnt]=i);
		for (int j=1; j<=cnt&&1ll*p[j]*i<=n; ++j) {
			v[t=p[j]*i]=1;
			if (i%p[j]) phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);
			else { phi[t]=phi[i]*p[j]; break; }
		}
	}
}

int main() {
	//v[1]=1; wpri();
	//v[1]=mu[1]=1; wmu();
	//v[1]=phi[1]=1; wphi();
	return 0;
}

线性筛能干的事情中，筛这三类东西应该就是最常用的用途了
可以背板子 反正不难
另外下标为1的位置不要忘记赋个初值

好的这样一篇文章就水写完了

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