Differentiable Manifolds and Tangent Spaces

本文探讨了在不同iable流形上定义切向量场的概念,并通过具体例子说明了如何在球面上定义局部坐标系及其相关的切向量场。特别讨论了毛球定理及其在球面上的应用。

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In  Rn , there is a globally defined orthonormal frame

E1p=(1,0,,0)p, E2p=(0,1,0,,0)p,,Enp=(0,,0,1)p.

For any tangent vector  XpTp(Rn) Xp=ni=1αiEip . Note that the coefficients  αi  are the ones that distinguish tangent vectors in  Tp(Rn) . For a differentiable function  f , the directional derivative  Xpf  of  f  with respect to  Xp  is given by
Xpf=i=1nαi(fxi).

We identify each  Xp  with the differential operator
Xp=i=1nαixi:C(p)R.

Then the frame fields  E1p,E2p,,Enp  are identified with
(x1)p,(x2)p,,(xn)p

respectively. Unlike  Rn , we cannot always have a globally defined frame on a differentiable manifold. So it is necessary for us to use local coordinate neighborhoods that are homeomorphic to Rn  and the associated frames  x1,x2,,xn .

Example. The points  (x,y,z)  are represented in terms of the spherical coordinates  (ϕ,θ)  as

x=sinϕcosθ,y=sinϕsinθ,z=cosϕ, 0ϕπ, 0θ2π.

By chain rule, one finds the standard basis  ϕ,θ  for  TS2 :
ϕθ=cosϕcosθx+cosϕsinθysinϕz,=sinϕsinθx+sinϕcosθy.

The frame field is not globally defined on  S2  since  θ  at  ϕ=0,π . More generally, the following theorem holds.

Frame field on 2-sphere

Theorem. [Hairy Ball Theorem] If  n  is even, a non-vanishing  C  vector field on  Sn  does not exist i.e. a  C  vector field on  Sn  must take zero value at some point of  Sn .

The Hairy Ball Theorem tells us why we have ball spots on our heads. It can be also stated as “you cannot comb a hairy ball flat.” There may also be a meteorological implication of this theorem. It may implicate that there must be at least one spot on earth where there is no wind at all. No-wind spot may be the eye of a hurricane. So, as long as there is wind (and there always is) on earth, there must be a hurricane somewhere at all times.

It has been known that all odd-dimensional spheres have at least one non-vanishing  C  vector field and that only spheres  S1,S3,S7  have a  C  field of basis. For instance, there are three mutually perpendicular unit vector fields on  S3R4  i.e. a frame field: Let  S3={(x1,x2,x3,x4)R4:4i=1(xi)2=1} . Then

XYZ=x2x1+x2x2+x4x3x3x4,=x3x1x4x2+x1x3+x2x4,=x4x1+x3x2x2x3+x1x4

form an orthonormal basis of  C  vector fields on  S3 .

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/1bfadf00ae14 “STC单片机电压测量”是一个以STC系列单片机为基础的电压检测应用案例,它涵盖了硬件电路设计、软件编程以及数据处理等核心知识点。STC单片机凭借其低功耗、高性价比和丰富的I/O接口,在电子工程领域得到了广泛应用。 STC是Specialized Technology Corporation的缩写,该公司的单片机基于8051内核,具备内部振荡器、高速运算能力、ISP(在系统编程)和IAP(在应用编程)功能,非常适合用于各种嵌入式控制系统。 在源代码方面,“浅雪”风格的代码通常简洁易懂,非常适合初学者学习。其中,“main.c”文件是程序的入口,包含了电压测量的核心逻辑;“STARTUP.A51”是启动代码,负责初始化单片机的硬件环境;“电压测量_uvopt.bak”和“电压测量_uvproj.bak”可能是Keil编译器的配置文件备份,用于设置编译选项和项目配置。 对于3S锂电池电压测量,3S锂电池由三节锂离子电池串联而成,标称电压为11.1V。测量时需要考虑电池的串联特性,通过分压电路将高电压转换为单片机可接受的范围,并实时监控,防止过充或过放,以确保电池的安全和寿命。 在电压测量电路设计中,“电压测量.lnp”文件可能包含电路布局信息,而“.hex”文件是编译后的机器码,用于烧录到单片机中。电路中通常会使用ADC(模拟数字转换器)将模拟电压信号转换为数字信号供单片机处理。 在软件编程方面,“StringData.h”文件可能包含程序中使用的字符串常量和数据结构定义。处理电压数据时,可能涉及浮点数运算,需要了解STC单片机对浮点数的支持情况,以及如何高效地存储和显示电压值。 用户界面方面,“电压测量.uvgui.kidd”可能是用户界面的配置文件,用于显示测量结果。在嵌入式系统中,用
资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/abbae039bf2a 在 Android 开发中,Fragment 是界面的一个模块化组件,可用于在 Activity 中灵活地添加、删除或替换。将 ListView 集成到 Fragment 中,能够实现数据的动态加载与列表形式展示,对于构建复杂且交互丰富的界面非常有帮助。本文将详细介绍如何在 Fragment 中使用 ListView。 首先,需要在 Fragment 的布局文件中添加 ListView 的 XML 定义。一个基本的 ListView 元素代码如下: 接着,创建适配器来填充 ListView 的数据。通常会使用 BaseAdapter 的子类,如 ArrayAdapter 或自定义适配器。例如,创建一个简单的 MyListAdapter,继承自 ArrayAdapter,并在构造函数中传入数据集: 在 Fragment 的 onCreateView 或 onActivityCreated 方法中,实例化 ListView 和适配器,并将适配器设置到 ListView 上: 为了提升用户体验,可以为 ListView 设置点击事件监听器: 性能优化也是关键。设置 ListView 的 android:cacheColorHint 属性可提升滚动流畅度。在 getView 方法中复用 convertView,可减少视图创建,提升性能。对于复杂需求,如异步加载数据,可使用 LoaderManager 和 CursorLoader,这能更好地管理数据加载,避免内存泄漏,支持数据变更时自动刷新。 总结来说,Fragment 中的 ListView 使用涉及布局设计、适配器创建与定制、数据绑定及事件监听。掌握这些步骤,可构建功能强大的应用。实际开发中,还需优化 ListView 性能,确保应用流畅运
资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/f989b9092fc5 牛顿迭代法是一种高效的数值方法,用于求解方程的根,尤其擅长处理一元高次方程。它基于切线逼近原理,通过迭代逐步逼近方程的实根。对于一元三次方程 ax 3 +bx 2 +cx+d=0(其中 a 6 =0),牛顿迭代法可以找到所有可能的实根,而不仅仅是其中一个。三次方程最多有三个实根或复根的组合。 牛顿迭代法的步骤如下: 初始化:选择一个初始值 x 0 ,尽量使其接近实际根。初始值的选择对收敛速度影响很大。 构造迭代公式:迭代公式为 x n+1 =x n − f ′ (x n ) f(x n ) ,其中 f(x) 是方程,f ′ (x) 是其导数。对于一元三次方程,f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d,其导数 f ′ (x)=3ax 2 +2bx+c。 迭代计算:从 x 0 开始,利用迭代公式计算 x 1 ,x 2 ,…,直到满足终止条件,如连续两次迭代的差值小于阈值 ϵ,或达到最大迭代次数。 检查根:每次迭代得到的 x n 可能是根。若 ∣f(x n )∣<ϵ,则认为 x n 是近似根。 在求解一元三次方程时,牛顿迭代法可能会遇到多重根或复根。对于多重根,迭代可能收敛缓慢甚至不收敛,需要特别处理。对于复根,牛顿迭代法可能无法直接找到,因为复数的导数涉及复数除法,通常需要使用牛顿-拉弗森迭代的复数扩展版本。 为了避免陷入局部极值,可以尝试多个不同的初始值进行迭代,从而找到所有实根。牛顿迭代法的收敛性依赖于函数的连续性和二阶导数的存在性,因此在使用前需要满足这些条件。在编程实现时,需考虑数值稳定性以及异常情况的处理,例如分母为零、迭代不收敛等。牛顿迭代法在求解一元三次方程的实根时,表现出了优于其他简单方法的优势。
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