洛谷 P1908 逆序对 题解 归并排序/树状数组/线段树

逆序对

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 $a_i>a_j$ 且 $i<j$ 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

输入格式

第一行，一个数 $n$，表示序列中有 $n$个数。

第二行 $n$ 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 $10^9$。

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

样例 #1

样例输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

样例输出 #1

11

提示

对于 $25\%$ 的数据，$n\le 2500$；

对于 $50\%$ 的数据，$n\le 4\times 10^4$；

对于所有数据，$n\le 5\times 10^5$。

请使用较快的输入输出。

原题

洛谷P1908——传送门

代码

解法一：归并排序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 5e5 + 6;
ll a[maxn], tmp[maxn], n, ans = 0;
void mergeSort(ll l, ll r) // 归并排序
{
    if (l >= r)
        return;
    // 分治
    ll mid = (l + r) >> 1, i = l, j = mid + 1, cnt = 0;
    mergeSort(l, mid);
    mergeSort(mid + 1, r);
    while (i <= mid || j <= r)
        if (j > r || (i <= mid && a[i] <= a[j]))
            tmp[cnt++] = a[i++];
        else
            tmp[cnt++] = a[j++], ans += mid - i + 1; // 统计逆序对数量
    for (ll k = 0; k < r - l + 1; k++)
        a[l + k] = tmp[k];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    mergeSort(1, n);
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

解法二：树状数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 5e5 + 6;

int n;

int tr[maxn]; // 树状数组

int lowbit(int x) // 获取低位2次幂数
{
    return x & -x;
}

void update(int x, int k) // 单点add
{
    while (x <= n)
    {
        tr[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}

int query(int x) // 前缀和查询
{
    int res = 0;
    while (x)
    {
        res += tr[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

int ranks[maxn]; // 下标对应的数的大小排名

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    vector<pair<int, int>> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].first;
        a[i].second = i;
    }
    sort(a.begin() + 1, a.end()); // 按数值为第一关键字，下标为第二关键字排序(这样的话重复数字也不会被统计进逆序对)
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ranks[a[i].second] = i;
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        update(ranks[i], 1);
        ans += i - query(ranks[i]); // query查询的是前缀和，逆序对需要用i-query即当前对总数减去非逆序对数量
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

解法三：线段树

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 5e5 + 6;

int n;

#define lc p << 1
#define rc p << 1 | 1

int ranks[maxn]; // 下标对应的数的大小排名

struct node
{
    int l, r, sum;
} tr[maxn * 4];

void build(int p, int l, int r) // p是当前位置，l和r表示区间
{
    if (l == r)
    {
        tr[p] = {l, r, 0};
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(lc, l, mid);
    build(rc, mid + 1, r);
    tr[p] = {l, r, tr[lc].sum + tr[rc].sum};
}

void update(int p, int x, int k) // p是当前位置，update是对x位置上的数加k
{
    if (tr[p].l == x && tr[p].r == x) // 修改叶子节点
    {
        tr[p].sum += k;
        return;
    }
    // 更新非叶子节点的sum
    int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
    if (x <= mid)
        update(lc, x, k);
    else
        update(rc, x, k);
    tr[p].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum;
}

int query(int p, int x, int y) // p是当前位置，x和y表示区间
{
    if (x <= tr[p].l && tr[p].r <= y) // 已覆盖则返回该部分的结果
        return tr[p].sum;
    int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
    int sum = 0;
    if (x <= mid)
        sum += query(lc, x, y);
    if (y > mid)
        sum += query(rc, x, y);
    return sum;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    vector<pair<int, int>> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].first;
        a[i].second = i;
    }
    sort(a.begin() + 1, a.end()); // 按数值为第一关键字，下标为第二关键字排序
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ranks[a[i].second] = i;
    }
    build(1, 1, n);
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        update(1, ranks[i], 1);
        ans += i - query(1, 1, ranks[i]);
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}