洛谷 P3406 海底高铁 题解 差分数组 前缀和

海底高铁

题目描述

该铁路经过 $N$ 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 $i$ 段铁路连接了城市 $i$ 和城市 $i+1(1\le i<N)$。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 $i$ 段铁路购买纸质单程票需要 $A_i$ 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 $i$ 段铁路，需要花 $C_i$ 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 $B_i(B_i<A_i)$ 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 $i$ 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 $M$ 个城市，从城市 $P_1$ 出发分别按照 $P_1,P_2,P_3,\cdots ,P_M$ 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

输入格式

第一行两个整数，$N,M$。

接下来一行，$M$ 个数字，表示 $P_i$。

接下来 $N-1$ 行，表示第 $i$ 段铁路的 $A_i,B_i,C_i$。

输出格式

一个整数，表示最少花费

样例 #1

样例输入 #1

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

样例输出 #1

6394

提示

$2$ 到 $3$ 以及 $8$ 到 $9$ 买票，其余买卡。

对于 $30\%$ 数据 $M=2$。

对于另外 $30\%$ 数据 $N\le 1000，M\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据 $M,N\le 10^5，A_i,B_i,C_i\le 10^5$。

原题链接

洛谷P3406——传送门

思路

1.利用 差分数组+前缀和 求出经过第 i 段铁路的次数：
cnt[i] = cnt[i-1]+d[i]
2.利用 贪心思想 求出在第 i 段铁路上花费的总费用：
change[i] = min(cnt[i]*a[i],cnt[i]*b[i]+c[i])

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<int> p(m);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        cin >> p[i];
    }
    vector<int> a(n), b(n), c(n); // 第i个表示城市i和城市i+1之间的费用
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
    }
    vector<int> d(n + 1); // 差分数组
    vector<int> cnt(n);   // 经过第i段铁路的次数

    for (int i = 0; i < m - 1; i++)
    {
        int st = min(p[i], p[i + 1]); // 起点
        int ed = max(p[i], p[i + 1]); // 终点
        d[st]++;
        d[ed]--;
        // 在cnt数组中区间[l,r)里的每个数加1，相当于在差分数组中d[l]++,d[r]--
    }

    cnt[0] = 0; // 初始化cnt[0]，便于根据差分数组求前缀和
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        cnt[i] = cnt[i - 1] + d[i]; // 求前缀和，即为经过第i段铁路的次数
    }

    ll ans = 0; // 费用和

    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        ans += min(1ll * a[i] * cnt[i], 1ll * b[i] * cnt[i] + c[i]); // 贪心，取两种方案的最小值(费用和次数相乘会爆int，记得乘1ll)
    }

    cout << ans << '\n';

    return 0;
}