有趣的数学用示例来阐述什么是初值问题二

原创于 2023-12-12 08:58:54 发布 · 225 阅读

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#微积分 #有趣的数学 #初值问题 #通解 #特定解

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本文介绍了如何通过找到微分方程的通用解，包括求反导数、积分和确定常数C的过程，来解决初值问题。特别强调了通解与特定解的区别以及应用实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、示例

解决以下初值问题。

${y}^{\prime }=3{e}^{x}+{x}^{2}-4,y\left(0\right)=5$

解决这个初始值问题的第一步是找到一个通用的解决方案。为此，我们找到微分方程两边的反导数。

$\displaystyle\int {y}^{\prime }dx=\displaystyle\int \left(3{e}^{x}+{x}^{2}-4\right)dx$

即 $y+{C}_{1}=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+{C}_{2}$

我们能够对两边进行积分，因为y项是单独出现的。请注意，有两个积分常数：C1和C2。求解前面的方程y给出

$y=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+{C}_{2}-{C}_{1}$

因为C1和C2都是常数，C2-C1也是一个常数。因此我们可以定义C=C2-C1，这可得方程

$y=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+C$

接下来我们确定C的值。为此，我们替换X=0和y=5代入我们前面提到的方程并求解C。

$5 = 3e^0 + \frac{1}{3}0^3-4(0) + C$

$5 = 3 + C$

$C=2$

现在我们替换该值C=2代入我们的方程。初值问题的解为 $y=3{e}^{x}+\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+2$

通解与特定解之间的区别在于，通解涉及自变量的一系列显式或隐式定义的函数。一个或多个初始值确定解族中的哪个特定解满足所需条件。

这就是一个配图，跟正文没关系

二、尝试一下

解决初值问题 ${y}^{\prime }={x}^{2}-4x+3 - 6{e}^{x},y\left(0\right)=8$ 。

提示：首先对微分方程两边求反导数。然后替换X=0和y=8代入所得方程并求解C。

答案： $y=\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+3x - 6{e}^{x}+14$

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