集合论—关系的自反、对称和传递闭包

最新推荐文章于 2023-09-27 02:01:50 发布

白水baishui

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文章标签：关系闭包自反对称传递

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/baishuiniyaonulia/article/details/93231859

本文介绍了非空集合A上关系的自反、对称和传递闭包的定义，给出了自反闭包r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包t(R)的表示方法。还阐述了构造A上关系R包的定理，并通过实例展示，同时将定理公式转化为矩阵表示。

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关系的自反、对称和传递闭包定义

设 $R\text{R}$ 是非空集合 $A$ 上的关系， $R\text{R}$ 的自反(对称、传递)闭包是 $A$ 上的关系 $R′\text{R}'$ ，且 $R′\text{R}'$ 满足以下条件：

$R′\text{R}'$ 是自反(对称、传递)的
$R⊆R′\text{R}\subseteq\text{R}'$
对 $A$ 上的任何包含 $R\text{R}$ 的自反(对称、传递)关系 $R′′\text{R}''$ 都有 $R′⊆R′′\text{R}'\subseteq\text{R}''$

一般将 $R\text{R}$ 的自反闭包(reflexive)记作 $r(R)r(\text{R})$ ，对称闭包(symmetry)记作 $s(R)s(\text{R})$ ，传递闭包(transfer)记作 $t(R)t(\text{R})$

构造 $A$ 上关系的 $R$ 包

设 $R$ 为非空集合 $A$ 上的关系，则有定理：

$R\cup R^0$
$R\cup R^{-1}$
$R\cup R^2 \cup R^3 \cup ...$

例：设 $A=\{a,b,c,d\}$ ， $R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$ ，则 $R$ 和 $r (R) 、 s (R) 、 t (R)$ 如图所示：
$R :$

$r (R) :$ 节点作圈

$s (R) :$ 节点互逆

$t (R) :$ 首尾连接

设 $R$ 的关系矩阵为 $M$ ，相应的自反、对称、传递闭包的矩阵为 $M_r$ 、 $M_s$ 、 $M_t$ ，将以上三条定理公式转化为矩阵表示。即得：

$M_r = M+E$
$Ms=M+M′M_s = M+M'$
$M_t = M + M^2 + M^3+...$

其中 $E$ 为同阶单位矩阵， $M^{'}$ 为 $M$ 的转置

例：设 $A=\{a,b,c,d\}$ ， $R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$ ，则 $M_r、M_s、M_t$ 如下所示：

$M_r=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $M_s=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ $M_t=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$