集合论—等价关系与偏序关系

最新推荐文章于 2025-06-25 15:00:57 发布

白水baishui

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分类专栏： # 离散数学文章标签：等价偏序关系集合论离散数学

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本文详细介绍了等价关系的定义与性质，包括等价类、商集的概念及其与集合划分的关系。同时，深入探讨了偏序关系的定义、偏序集、哈斯图的绘制方法以及元与界的概念。

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等价关系

等价关系的定义

定义：设 $R$ 为非空集合 $A$ 上的关系，若 $R$ 是自反的、对称的和传递的，则称 $R$ 为 $A$ 上的等价关系。对任何 $x,y∈Ax,y\in A$ ，若 $<x,y>∈R<x,y>\in R$ ，则记作 $x∼yx\sim y$

例：

若有 $A=\{1,2,...,8\}$ ， $R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)}R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\}$ 。则 $R$ 为 $A$ 上的等价关系。
动物按种属进行分类后，“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系。
集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系。

等价类

设 $R$ 是非空集合 $A$ 上的等价关系，则 $A$ 上互相等价的元素构成了 $A$ 的若干个子集，称作等价类。

等价类的一般定义：设 $R$ 是非空集合 $A$ 上的等价关系，对任意的 $x∈Ax\in A$ ，令 $[x]R={y∣y∈A,xRy}[x]_R=\{y|y\in A, x\text{R}y\}$ 则称 $x]_R$ 为 $x$ 关于 $R$ 的等价类，简称 $x$ 的等价类，简记为 $[x]$

例如：若有 $A=\{1,2,...,8\}$ ， $R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)}R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\}$ ，有等价类： $1]=[4]=[7]=\{1,4,7\}$ $2]=[5]=[8]=\{2,5,8\}$ $3]=[6]=\{3,6\}$ 等价类具有如下性质：
设 $R$ 是非空集合 $A$ 上的等价关系，对任意的 $x,y∈Ax,y\in A$ ，下面的结论成立。

$[x]≠∅[x]\neq\varnothing$ ，且 $[x]⊆A[x]\subseteq A$ ；
若 $xRyx\text{R}y$ ，则 $[x] = [y]$ ；
若 $x̸Ryx\not \text{R}y$ ，则 $[x]∩[y]=∅[x]\cap[y]=\varnothing$ ；
$⋃x∈A[x]=A\bigcup_{x\in A}[x]=A$ .

其中，(1)表明任何等价类都是集合 $A$ 的非空子集；(2)和(3)表明在 $A$ 中任取两个元素，它们的等价类或是相等，或是不交；(4)表示所有等价类的并集就是 $A$ .

商集

定义：设 $R$ 是非空集合 $A$ 上的等价关系，以 $R$ 的不交等价类为元素的集合称作 $A$ 在 $R$ 下的商集，记作 $A / R$ ： $x∈A}A/R=\{[x]_R\ |\ x\in A\}$ 例如：
1、若有 $A=\{1,2,...,8\}$ ， $R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)}R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\}$ ，有商集： $A/R=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6\}\}$

2、非空集合 $A$ 上的全域关系 $E_A$ 是 $A$ 上的等价关系，对任意 $x∈Ax\in A$ 有 $[x] = A$ ，商集 $A/E_A = \{A\}$

划分与划分块

设 $A$ 是非空集合，若存在一个 $A$ 的子集族 $π(π⊆P(A))\pi(\pi \subseteq P(A))$ 满足以下条件：

$∅∉π\varnothing \notin \pi$
$π\pi$ 中任意两个元素不交
$π\pi$ 中所有元素的并集等于 $A$ ，则称 $π\pi$ 为 $A$ 的一个划分，且称 $π\pi$ 中的元素为划分块

例：考虑集合 $A=\{a,b,c,d\}$ ，则：

${\{a\}, \{b,c\},\{d\}\}$
${\{a,b,c,d\}\}$
${\{a,b\}, \{c\},\{a,d\}\}$
${∅,{a,b},{c,d}}\{\varnothing, \{a,b\}, \{c,d\}\}$
${\{a\},\{b,c\}\}$

中(1)、(2)是 $A$ 的划分；(3)不是 $A$ 的划分，因为子集 ${a,b\}$ 与 ${a,d\}$ 有交；(4)不是 $A$ 的划分，因为 $∅\varnothing$ 在其中；(5)不是 $A$ 的划分，因为所有子集的并集不为 $A$ .

由商集和划分的定义不难看出若有 $A$ 上的二元关系 $x,y∈π}R=\{<x,y>\ |\ x,y \in\pi\}$ ，则可证明 $R$ 是 $A$ 上的等价关系，称为有划分 $π\pi$ 所诱导的等价关系，且该等价关系的商集为 $π\pi$ 。所以集合 $A$ 上的等价关系与集合 $A$ 的划分是一一对应的。

偏序关系

在介绍偏序关系之前先了解一下什么是全序关系：
全序集的定义： 设 $<A,≼><A,\preccurlyeq>$ 为偏序集，若对任意的 $x,y∈Ax,y\in A$ ， $x$ 和 $y$ 都可比，则称 $≼\preccurlyeq$ 为 $A$ 上的全序关系，且称 $<A,≼><A,\preccurlyeq>$ 为全序集。

例如： ${1,2,3,4,5\}$ 上的 $⩽\leqslant$ 关系就是全序关系，而整除关系就不是全序关系。

偏序关系的定义

设 $R$ 为非空集合 $A$ 上的关系，若 $R$ 是自反的、反对称的、传递的，则称 $R$ 为 $A$ 上的偏序关系。简称偏序，记作 $≼\preccurlyeq$

设 $≼\preccurlyeq$ 为 $A$ 上的偏序关系，若有有序对 $< x, y >$ 属于偏序 $≼\preccurlyeq$ ，可记作 $x≼yx\preccurlyeq y$ ，读作 $x$ 小于等于 $y$ ，不过这里的“小于等于”不是指数的大小，而是指它们在偏序中的位置先后。

例如在集合 $A=\{1,2,3\}$ 中，偏序 $≼\preccurlyeq$ 是 $A$ 上的大于等于关系,则： $≼={<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1><1,1>}\preccurlyeq = \{<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1><1,1>\}$ 那么就有 $3≼23\preccurlyeq 2$ 、 $3≼13\preccurlyeq 1$ 等，它们分别表示 $<3,2>∈≼<3,2>\in\preccurlyeq$ 、 $<3,1>∈≼<3,1>\in\preccurlyeq$

偏序集

偏序集定义：一个集合 $A$ 与 $A$ 上的偏序关系 $R$ 一起称作偏序集，记作 $< A, R >$ 。

可比与盖住：
设 $<A,≼><A,\preccurlyeq>$ 为偏序集，对于任意的 $x,y∈Ax,y\in A$ ，若果 $x≼yx\preccurlyeq y$ 或 $y≼xy\preccurlyeq x$ 成立，则称 $x$ 与 $y$ 是可比的，若 $x≺yx\prec y$ (即 $x≼y∧x≠yx\preccurlyeq y \land x\neq y$ )，且不存在 $z∈Az\in A$ 使得 $x≺z≺yx\prec z\prec y$ ，则称 $y$ 盖住 $x$ 。

例如： $<A,≼><A,\preccurlyeq >$ 是偏序集，其中 $A=\{1,2,3,4,5\}$ ， $≼\preccurlyeq$ 是整除关系。

那么对任意 $x∈Ax\in A$ 都有 $1≼x1\preccurlyeq x$ ，所以1和1,2,3,4,5都是可比的；但是2与3相互不能整除，所以2和3是不可比的:。

对于1和2来说， $1≺21\prec 2$ ，并且不存在 $z∈Az\in A$ 使得1整除 $z$ 并且 $z$ 整除2，所以2盖住1，同样的有4盖住2，但4不盖住1因为有 $1≺2≺41\prec 2\prec 4$ 。

显然的，若 $x$ 与 $y$ 不可比，则一定不会有 $x$ 盖住 $y$ 或反之。

哈斯图

对于又穷的偏序集 $<A,≼><A,\preccurlyeq>$ 可以用哈斯图来描述。在哈斯图中，每一个节点表示 $A$ 中的一个元素，节点位置按它们在偏序集中的次序从低向上排列。若 $y$ 盖住 $x$ 则在 $x y$ 之间连一条直线。

例如： $<A,≼><A,\preccurlyeq >$ 是偏序集，其中 $A=\{1,2,3,4,5\}$ ， $≼\preccurlyeq$ 是整除关系，则该偏序集的哈斯图为：
hast
由哈斯图不能看出全序集的哈斯图是一条直线，因此，全序集也称做线序集

元与界

设 $<A,≼><A,\preccurlyeq>$ 为偏序集， $B⊆AB\subseteq A$

若 $∃y∈B\exists y\in B$ ，使得 $∀x(x∈B→y≼x)\forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)$ 成立，则称 $y$ 是 $B$ 的最小元。
若 $∃y∈B\exists y\in B$ ，使得 $∀x(x∈B→x≼y)\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$ 成立，则称 $y$ 是 $B$ 的最大元。
若 $∃y∈B\exists y\in B$ ，使得 $¬∃x(x∈B∧x≺y)\lnot\exist x(x\in B\land x\prec y)$ 成立，则称 $y$ 是 $B$ 的极小元。
若 $∃y∈B\exists y\in B$ ，使得 $¬∃x(x∈B∧y≺x)\lnot\exist x(x\in B\land y\prec x)$ 成立，则称 $y$ 是 $B$ 的极大元。

设 $<A,≼><A,\preccurlyeq>$ 为偏序集， $B⊆AB\subseteq A$

若 $∃y∈A\exist y\in A$ ，使得 $∀x(x∈B→x≼y)\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$ 成立，则称 $y$ 为 $B$ 的上界。
若 $∃y∈A\exist y\in A$ ，使得 $∀x(x∈B→y≼x)\forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)$ 成立，则称 $y$ 为 $B$ 的下界。
令 $∀x(x∈B→x≼y)}C=\{y\ |\ \forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)\}$ ，则称 $C$ 的最小元为 $B$ 的上确界(最小上界)
令 $∀x(x∈B→y≼x)}C=\{y\ |\ \forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)\}$ ，则称 $C$ 的最大元为 $B$ 的下确界(最大下界)