求逆序数的三种数据结构比较

本文比较 树状数组，线段树，还有一种unnamed的树状结构，在求逆序数中的运行效率。

给定数组a，如果有i, j, i < j且a[i] > a[j]，我们称之为一个逆序（反序），求逆序数即找出这样的i，j对的数目。如果通过交换相邻元素来对数组排序，那么逆序数正好是最少的交换次数。长度为n的排列，其逆序数的期望是n(n-1)/4，方差是n(2n+5)(n-1)/72。逆序数的平均数可以大概视为n^2/4，标准差大概视为(1/6)n^(3/2)。

经典的求逆序数的算法可以由归并排序给出，但是在实现细节上可能会出错。而使用辅助数据结构则使得实现难度降低。

最简单的是用线段树：从左往右扫描，每扫描到一个数时，则通过线段树求出当前线段树上大于当前元素的元素的个数。然后将当前元素加到线段树中。

在这里，上述算法也可以用树状数组（binary index tree）来实现。在添加元素时，从大到小，可以理解为从最小元素到当前元素添加了一根线段。在查询时，从小到大累加，可以理解为求当前元素被多少个线段覆盖，也就是比当前元素大的元素的数量。

还有一种树状结构，对于[l, r]的一个区间，令mid=l+r>>1用tree[mid]来维护[mid, r]上的元素个数。
插入时，如果需要插入的元素正好是mid，则计数加1，算法结束。
如果在[mid+1, r]上，则计数加1，同时递归到右区间:l = mid + 1。
如果在[l, mid-1]上，则tree[mid]不变，同时递归到左区间上：r = mid - 1;

对于查询基本上和插入一样。

为了简单对运行效率，生成了[1, 10000]的随机数一千万个（这样的测试方法不一定能反应出效率，我只是偷懒，只简单设计这样的方法）。为了方便实现，求的是a[i] >= a[j]的pair数，否则，很多细节需要修改，而修改后，可能对于某些结构，多了一些判断，会影响效率。

对于线段树的实现，分别使用了递归和非递归，其中queryB是递归的，queryBext是非递归的。可以看出unnamed的树状结构和线段