C++求2个圆的交点

最近，在看cone tracing中涉及求圆锥和立方体的相交的需要。发现这十分复杂，所以想退而求其次求圆锥和球体的相交，再做简化，求二维圆和圆的相交面积。

然而求二维圆和圆的相交面积，也有一些复杂。如果先求2个圆的交点，可以辅助相交面积的求解，所以先写了个程序验证2圆交点求解。

首先，根据圆的一般方程，我们如果有2个圆的中心坐标（c1x，c1y）、（c2x，c2y），以及2个圆的半径r1和r2，我们可以列出下面2个等式：

   1)

  2)

把2式减去1式，可以得到：

   3) 

这个公式项目较多，做一些变量替换，可以简化这个公式，令：

  4)

 5)

  6)

把式4、5、6代入3式，可以得到：

  7)

然后把7代入1：

  8)

整理一下，得式9：

9)

最后得到的这个关于x的1元2次方程就可以直接求解了，先提取一下系数：

  10)

  11)

  12)

根据求根公式，得到解x1和x2，如果根式里小于0，则没有解，即2圆不相交。解出x1、x2后代入7式，可以解得y1和y2，2个相交坐标点即可求出。

  13)

到这里，一般的求解推理就完成了，但是回顾式7，可以发现，这里可能会有个除零异常发生。即两圆的中心Y坐标相同（c1y=c2y）时，C为0，这时就不能按上述流程求解了。

不过（c1y=c2y）时，求解简化了，此时x只有1个解，从公式3，我们得出x的解为：

最后函数可以如下实现：

bool CircleIntersect(Vec2 c1, float r1, Vec2 c2, float r2, Vec2 *intersectP1, Vec2 *intersectP2)
{
	float centerD = c1.Distance(c2);
	if (centerD < r1 + r2){
		float A = r2 * r2 - r1 * r1 - c2.x * c2.x + c1.x * c1.x - c2.y * c2.y + c1.y * c1.y;
		float B = 2 * (c1.x - c2.x);
		float C = 2 * (c1.y - c2.y);
		if (C == 0){
			if (B == 0){  // center are the same
				return false;
			}
			else{
				float x = A / B;
				float a = 1;
				float b = -2 * c2.y;
				float c = x * x - 2 * c2.x * x + c2.x * c2.x + c2.y * c2.y - r2 * r2;

				float delta = b * b - 4 * a * c;
				if (delta >= 0.0f){
					float sqrtD = powf(delta, 0.5f);
					float y1 = (sqrtD - b) / (2 * a);
					float y2 = (-sqrtD - b) / (2 * a);
					*intersectP1 = Vec2(x, y1);
					*intersectP2 = Vec2(x, y2);
					return true;
				}
			}
		}
		else{
			float a = B * B / (C * C) + 1;
			float b = 2 * c1.y * B / C - 2 * c1.x - 2 * A * B / (C * C);
			float c = c1.x * c1.x + c1.y * c1.y + A * A / (C * C) - 2 * c1.y * A / C - r1 * r1;

			float delta = b * b - 4 * a * c;
			if (delta >= 0.0f){
				float sqrtD = powf(delta, 0.5f);
				float x1 = (sqrtD - b) / (2 * a);
				float x2 = (-sqrtD - b) / (2 * a);
				float y1 = (A - B * x1) / C;
				float y2 = (A - B * x2) / C;
				*intersectP1 = Vec2(x1, y1);
				*intersectP2 = Vec2(x2, y2);
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

函数参数为2圆的中心和半径；如果2圆相交，返回true且把交点通过指针回传，没有相交则返回false。

注：如果2圆中心重合（B与C为0）则视为不相交（即使半径相等时会有无数个交点）；另外如果两圆心距离小于半径之和才进入求交点计算，可以省下很多计算量。

讨论：计划计算2圆的相交面积，现在想到的方法是计算相交后得到的2个扇形面积减去扇形重合的区域。这个方法应该能精确计算出相交面积。但是要实施到cone tracing中，有1个问题：需要把3维2球体投射到2维平面上求解。这点不是很好克服，所以可能会转而使用一个近似的方法：计算2圆中心距离和2圆半径的关系。比如：当2圆分离时，2圆中心距离>2圆半径之和；当圆1包含圆2（圆1半径>圆2半径）时，圆1半径减2圆中心距离>圆2半径（见下图）。