数论-辗转相除法、唯一分解定理

没有数学就没有算法；没有好的数学基础，也很难在算法上有所成就。

数论被数学王子高斯誉为整个数学王国的皇后。数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。从研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。

我们在这里主要学习初等数论。

首先看一下需要用的辅助宏：

typedef pair<int, int> P;
const int maxn = 200 + 5;
const int INF  = 0x3f3f3f3f;  //极大值
const double pi = acos(-1);  // π

首先学习一下辗转相处法，它也许是最广为人知的数论算法。

输入：整数a，b

输出：a，b的最大公约数，最小公倍数。

运行结果：

这个算法是求最大公约数的，关键在于如下恒等式：

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)/ 它和边界条件gcd(a,0)=0一起构成了下面的程序、

int gcd(int a, int b)
{
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a%b);
}

这个算法称为欧几里得算法。既然是递归，那么会导致栈溢出么？答案是不会。

可以证明，gcd函数的递归层数不超过4.785lgN + 1.6723 。其中N =