20、双向方差分析（Two - way ANOVA）全面解析

双向方差分析（Two - way ANOVA）全面解析

1. 双向方差分析基础

从简单线性回归模型，到多元回归模型，再到单向方差分析的多元回归模型，自然的扩展就是加入一个或多个因素。当模型包含两个因子变量且无连续变量时，就形成了双向方差分析模型（Two - way ANOVA）。实际上，n 向方差分析模型中可以有任意数量的因子，但通常受限于数据的可获取性。一般来说，除非采用特殊实验设计或做出妥协，每个因子水平组合至少需要两个观测值。

双向方差分析模型包含两个因子，第一个因子有 I 个水平，第二个因子有 J 个水平，这两个因子将观测值划分为 I × J 组。我们关心这些组之间是否存在差异，而响应受因子不同水平影响的方式有两种：因子水平效应要么是相加的，要么是相互作用的。相互作用有时可理解为相乘关系。

以自来水和盐（氯化钠）对铁的腐蚀实验为例：
- 因子水平设定：
- 水（W）：无水（W = 0），有水（W = 1）
- 盐（S）：无盐（S = 0），有盐（S = 1）
- 实验分组：将实验单元（铁片）分为 WS、WS、WS、WS 四组。
- 预期结果：
- WS 组（无水无盐）：几乎无腐蚀。
- WS 组（有水无盐）：少量腐蚀。
- WS 组（有盐无水）：少量腐蚀。
- WS 组（有水有盐）：大量腐蚀。

这表明水和盐存在相互作用，在交互图中表现为非平行线；若无相互作用，交互图中的线是平行的。

2. 双向方差分析模型

• 均值模型 ：
  • (y_{ijk}