4、基础统计：双变量相关性分析

基础统计：双变量相关性分析

1. 身体部位数据特征

在对身体各部位的数据进行分析时，我们发现各身体部位之间本质上没有差异。虽然肩部的均值略低于其他部位，但当考虑到以标准差或四分位距形式呈现的变异性时，这种差异相较于每个部位内部的变异性而言是微不足道的。同时，数据呈现出合理的对称性，这可以从各部位的均值和中位数大致相同，以及四分位数到中位数的距离大致相等这两个方面看出。

2. 双定量变量的相关性分析

2.1 相关系数的含义

相关系数，即皮尔逊积矩相关系数，用于衡量一对定量变量之间线性关系的强度。然而，它是最容易被误用的统计量之一，主要原因在于人们对其测量的内容存在误解。

2.2 相关系数的误判示例

通过图 2.4 中的四个数据集可以看出，很多人会认为所有四个图中的变量都呈现出高度相关性，但实际并非如此。尽管四个图中变量之间都存在很强的关系，但只有图 A 和图 B 存在强线性关系，它们的相关系数分别为 0.99 和 -0.99，而图 C 和图 D 的相关系数均为 -0.06。这种误解部分源于回归分析中有一个称为（平方）复相关系数或 $R^2$ 的量，它衡量的是观测值与模型预测值之间的线性依赖关系。图 C 和图 D 中的数据显然有合适的模型，因此这些数据集会有较高的 $R^2$ 值。

2.3 异常值对相关系数的影响

统计学家弗朗西斯·安斯库姆构建了四组数据，即安斯库姆四重奏。每组数据都有两个变量 $x$ 和 $y$，且在每组数据中，$x$ 和 $y$ 具有相同的均值（9 和 7.5）、相同的标准差（3.32 和 2.03）以及相同的相关性（0.82）。如果使用简单线性回归