斜率优化模板题 HDU3507:Print Article

最新推荐文章于 2021-03-16 21:24:00 发布

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斜率优化

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本文介绍了一种在动态规划问题中使用斜率优化的方法，通过维护一个单调队列来实现状态转移，从而将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n)。这种方法适用于特定形式的状态转移方程。

首先看出是DP

方程 dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m}.

n的范围是<=500000，二维动归会超时。

那末，下面是斜率优化：

在做状态i的时候，我们会比较在i前面的状态j和状态k

我们假设j>k；

那末，如果状态j更优，就有(dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2)>(dp[k]+(sum[i]-sum[k]))

经移项得((dp[j]+sum[j]^2)-(dp[k]+sum[k]^2))/(2*sum[j]^2-2*sum[k])<sum[i]

设dp[j]+sum[j]^2=y1，dp[k]+sum[k]^2=y2，2*sum[j]^2=x1，2*sum[k]^2=x2，把点(x1,y1)和(x2,y2)投射到坐标系中，上面的式子就是过这两点直线的斜率。

设这个斜率为g(j,k)。

弄一发类似单调队列的东东，存位置，维护队列使队列内相邻的点斜率单调上升。

取数时，先取出头指针和下一个位置的斜率，如果斜率比sum[i]小，那末说明这时取后一个数更优，头指针后移。

进队列时，比较尾指针和前一个位置的斜率与需要加入的点和尾指针的斜率，如果前者较大，说明加入了状态i后，不满足斜率递增，那末尾指针前移。

时间复杂度降为O(n)。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[500000+10],sum[500000+10],dui[500000+10];
int n,m,i,j,a,tou,wei;

ll up(int x,int y)//y1-y2
{
	int j=x,k=y;	
	return dp[j]+sum[j]*sum[j]-dp[k]-sum[k]*sum[k];
}
ll down(int x,int y)//x1-x2
{
	int j=x,k=y;
	return 2*(sum[j]-sum[k]);
}
int main()
{
	while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
	{
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		for(i=1;i<=n;++i)
		{
			scanf("%d",&a);
			sum[i]=sum[i-1]+a;
		}
		memset(dui,0,sizeof(dui));
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		tou=0;
		wei=1;
		dui[1]=1;
		dp[1]=sum[1]*sum[1]+m;
		for(i=2;i<=n;++i)
		{
			while(tou<wei&&up(dui[tou+1],dui[tou])<=sum[i]*down(dui[tou+1],dui[tou]))
			++tou;<span style="white-space:pre">	</span>//后面的状态更优，后移前指针
			j=dui[tou];
			dp[i]=dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);//状态转移
			while(tou<wei&&up(i,dui[wei])*down(dui[wei],dui[wei-1])<=up(dui[wei],dui[wei-1])*down(i,dui[wei]))
			wei--;<span style="white-space:pre">	</span>//不满足斜率递减，前移尾指针
			dui[++wei]=i;//加入状态i
		}
		printf("%lld\n",dp[n]);
	}
	return 0;
}

C++新手，代码又丑又LOW不喜勿喷。。。