11、神经场中的Heaviside世界与自组织现象解析

神经场中的Heaviside世界与自组织现象解析

1. 一维两层场中的解特性

在一维两层场中，除了存在静止的隆起解（stationary bump solution），还存在移动的隆起解（moving bump solution），而在单层场中则不存在移动隆起解。通过引入移动坐标 $\xi = x - ct$（其中 $c$ 为隆起的移动速度），在满足特定条件时，可得到移动隆起解的显式表达式。呼吸解（breathing solution）的存在体现了这些方程解的丰富性，并且Heaviside世界使得对隆起解的分析变得更为容易。

2. 二维神经激发场

2.1 单层二维场方程

单层二维场的方程可描述为：
$\tau \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = -u(x,t) + \int w(x - x’)f(u(x’,t))dx’ + s$
其中，$x = (x_1,x_2)$ 是场的坐标，$w(x)$ 是径向对称的连接函数。设 $A(t)$ 是Heaviside世界中的活跃区域，在此区域上 $u(x,t) > 0$，令 $x_A$ 是 $A$ 边界上的一点，则满足 $u(x_A,t) = 0$。

通过对 $u(x_A,t) = 0$ 求导，可得到描述激发区域边界运动的方程：
$\alpha \frac{dx_A}{dt} = -\frac{\partial u(x_A,t)}{\partial t} = -\frac{1}{\tau}(\int_A w(x_A - x’)dx’ + s)$

平衡解满足 $\int_A w(x_A - x’)dx’ +