56、标准顶点条件下M函数的层级结构

标准顶点条件下M函数的层级结构

1. 基础概念与公式推导

在图论相关的计算中，计算图的M函数时，使用与单条边相关的M函数是较为简便的方法。当所有顶点都满足标准顶点条件时，这个过程尤为简单。在这种情况下，算子定义域内的函数在顶点处连续，我们可以引入顶点处的函数值 $\psi(V^m)$，构建出 $M$ 维向量 $\vec{\psi} v = { \psi(V^j) } {j = 1}^M$。该向量的前 $M_{\partial}$ 个分量与向量 $\vec{\psi}^{\partial}$ 重合。同样，向量 $\partial\vec{\psi} v$ 的元素等于顶点处法向导数的和，其前 $M {\partial}$ 个分量与向量 $\partial\vec{\psi}^{\partial}$ 重合。

我们可以将 $M$ 维空间 $\mathbb{C}^M \ni \vec{\psi} v, \partial\vec{\psi}_v$ 自然地划分为 $M {\partial}$ 维和 $M - M_{\partial}$ 维空间的正交和：
$\mathbb{C}^M \ni \vec{\psi} v = \mathbb{C}^{M {\partial}} \ni \vec{\psi}^{\partial} \oplus \mathbb{C}^{M - M_{\partial}} \ni \vec{\psi}^{int}$

图的M函数 $M_{\Gamma}(\lambda)$ 定义为一个矩阵，它连接了在边上求解方程 (17.2) 并在内部顶点满足标准条件的任何函数 $\psi(\la