54、图的M函数：定义与示例

图的M函数：定义与示例

1. 引言

M函数与量子图相关，它不仅是描述量子图谱性质的有效工具，还能用于解决逆问题。在深入探讨图的M函数之前，我们需要先明确图的边界的定义，这对于后续的研究至关重要。

2. 图的边界定义

2.1 边界定义的不同可能性

• 端点集合 ：一种可能是将构成边的所有区间的端点作为图的边界。但这种方法将图视为区间的集合，难以体现图的拓扑结构，且这个集合可能过大。
• 度为1的顶点集合 ：另一种可能是将所有度为1的顶点视为图的边界，这种定义较为自然，具有清晰的视觉解释，尤其适用于绘制在纸上的树状图。然而，并非所有图都存在度为1的顶点，所以这种定义并不适用于所有情况。

2.2 接触集的引入

鉴于上述边界定义的局限性，我们引入图的接触集$\partial\Gamma$，它是用于接近图$\Gamma$的顶点集合。边的内部点可视为度为2的顶点，因此接触集可以包含图$\Gamma$中的任意有限点集。同时，我们假设接触顶点的顶点条件为标准条件，这一限制虽非必要，但能使所有公式更加清晰。

3. 正式定义

3.1 图的基本结构

设$\Gamma$是一个由$N$条边在$M$个顶点$V^m$处连接而成的有限紧致度量图。接触集$\partial\Gamma$是顶点的一个固定任意子集，不失一般性，我们假设顶点已被编号，使得接触集由前$M_{\partial}\geq1$个顶点组成，即$\partial\Gamma = {V^j} <