51、渐近等谱量子图与磁通量相关研究

渐近等谱量子图与磁通量相关研究

1. 渐近等谱相关定理

在研究广义三角多项式时，有如下重要定理：
- 定理1 ：设 (p(k) = \sum_{i = 1}^{\infty} p_i e^{i\omega_i k})，(q(k) = \sum_{j = 1}^{\infty} q_j e^{i\nu_j k}) 为广义三角多项式，它们的零点分别为 (k_n) 和 (l_n)。若 (\lim_{n \to \infty} (k_n - l_n) = 0)，则这两个函数的零点相同。
- 定理2 ：设 (L^{S_1}(\Gamma_1)) 和 (L^{S_2}(\Gamma_2)) 是定义在有限紧度量图 (\Gamma_1) 和 (\Gamma_2) 上的两个拉普拉斯算子，由某些缩放不变的顶点条件 (S_1) 和 (S_2) 给出。如果这些算子是渐近等谱的，那么它们是等谱的。
- 证明 ：缩放不变的拉普拉斯算子是非负算子，其正特征值由某些广义三角多项式给出。由于渐近接近，定理1表明这些多项式的零点重合，即所有正特征值重合。而特征值零的重数也重合，因为最低非零特征值不仅重合，而且具有相同的指标。

2. 渐近等谱量子图的应用

上述定理在量子图的谱理论中有重要应用：
- 拉普拉斯算子 ：对于有限紧量子图和缩放不变的顶点条件，其谱由广义三角多项式的零点给出。渐近等谱的缩放不变拉普拉斯算子实际上是等谱的，这意味着缩放不变拉普拉斯算子的谱具有一定的刚性，由渐近性决定。
- 薛