12、拉普拉斯算子基态与量子图基态的正定性研究

拉普拉斯算子基态与量子图基态的正定性研究

1. 半无限边存在时算子的连续谱

在存在半无限边的情况下，算子具有连续谱分支。为证明这一结果，需要用到相关定理。已知(\sum_{c}(B) = \sum_{c}(A))（这里(\sum_{c})表示算子的连续谱）。已经证明(L_{D}^{q,a}(\Gamma))的谱包含重数为(N_{i})的连续谱分支([0, \infty))。通过修改定理 4.6 的证明可知，预解式((L_{S}^{q,a} - \lambda)^{-1} - (L_{D}^{q,a} - \lambda)^{-1})的秩至多为(D = 2N_{c} + N_{i})。需要考虑的是，在半无限区间的情况下，方程 (4.27) 只有一个平方可积解。

定理 4.9 ：具有(N_{i})条半无限边的有限度量图(\Gamma)上的磁薛定谔算子(L_{S}^{q,a}(\Gamma))的谱包含重数为(N_{i})的连续谱分支([0, \infty))，负谱由有限个特征值组成。需要注意的是，该定理并未提及正离散谱的情况，正离散谱可能为空，也可能存在嵌入特征值，对应嵌入特征值的特征函数在所有半无限边上必然为零。

2. 标准拉普拉斯算子的基态

2.1 基态特征函数

对于标准拉普拉斯算子(L^{st}(\Gamma))，其由度量图(\Gamma)唯一确定，其谱有时也被称为图(\Gamma)的谱。已经知道常数函数(\psi_{1}(x) \equiv 1)是对应特征值(\lambda_{1} = 0)的特征函数，它满足以下条件：
- (-\psi_{1}’‘(x) = 0)；
- 满