寻找两个有序数组的中位数

题目地址

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。	
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。	
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。	
示例 1:	
nums1 = [1, 3]	
nums2 = [2]	
则中位数是 2.0	
示例 2:	
nums1 = [1, 2]	
nums2 = [3, 4]	
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5	
来源：力扣（LeetCode）	
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays	
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思路

首先了解一下Median的概念，一个数组中median就是把数组分成左右等分的中位数。

如下图：

这道题，很容易想到暴力解法，时间复杂度和空间复杂度都是 O(m+n), 不符合题中给出 O(log(m+n))时间复杂度的要求。我们可以从简单的解法入手，试了一下，暴力解法也是可以被Leetcode Accept的. 分析中会给出两种解法，暴力求解和二分解法。

解法一 - 暴力 （Brute Force）

暴力解主要是要merge两个排序的数组 （A，B）成一个排序的数组。

用两个 pointer（i，j）， i 从数组 A起始位置开始，即 i=0开始， j 从数组 B起始位置， 即 j=0开始. 一一比较 A[i]和B[j],

1. 如果 A[i]<=B[j], 则把 A[i] 放入新的数组中，i往后移一位，即 i+1.

2. 如果 A[i]>B[j], 则把 B[j] 放入新的数组中，j往后移一位，即 j+1.

3. 重复步骤#1 和 #2，直到 i移到 A最后，或者 j移到 B最后。

4. 如果 j移动到 B数组最后，那么直接把剩下的所有 A依次放入新的数组中.

5. 如果 i移动到 A数组最后，那么直接把剩下的所有 B依次放入新的数组中.

Merge的过程如下图。

时间复杂度：O(m+n)-mislength of A,nislength of B

空间复杂度：O(m+n)

解法二 - 二分查找 （Binary Search）

由于题中给出的数组都是排好序的，在排好序的数组中查找很容易想到可以用二分查找（Binary Search), 这里对数组长度小的做二分， 保证数组A 和 数组B 做partition 之后

len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2-m是数组A的长度，n是数组B的长度

对数组A的做partition的位置是区间 [0,m]

如图：

下图给出几种不同情况的例子（注意但左边或者右边没有元素的时候，左边用 INF_MIN，右边用 INF_MAX表示左右的元素：

下图给出具体做的partition 解题的例子步骤，

时间复杂度：O(log(min(m,n))-mislength of A,nislength of B

空间复杂度：O(1) - 这里没有用额外的空间

关键点分析

1. 暴力求解，在线性时间内merge两个排好序的数组成一个数组。

2. 二分查找，关键点在于

• 要partition两个排好序的数组成左右两等份，partition需要满足 len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度

• 并且partition后 A左边最大( maxLeftA), A右边最小（ minRightA), B左边最大（ maxLeftB), B右边最小（ minRightB) 满足 (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)

有了这两个条件，那么median就在这四个数中，根据奇数或者是偶数，

奇数：	
median = max(maxLeftA, maxLeftB)	
偶数：	
median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2

代码（Java code）

解法一 - 暴力解法（Brute force）

class MedianTwoSortedArrayBruteForce {	
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {	
      int[] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2);	
      int n = newArr.length;	
      if (n % 2 == 0) {	
        // even	
        return (double) (newArr[n / 2] + newArr[n / 2 - 1]) / 2;	
      } else {	
        // odd	
        return (double) newArr[n / 2];	
      }	
    }	
    private int[] mergeTwoSortedArray(int[] nums1, int[] nums2) {	
      int m = nums1.length;	
      int n = nums2.length;	
      int[] res = new int[m + n];	
      int i = 0;	
      int j = 0;	
      int idx = 0;	
      while (i < m && j < n) {	
        if (nums1[i] <= nums2[j]) {	
          res[idx++] = nums1[i++];	
        } else {	
          res[idx++] = nums2[j++];	
        }	
      }	
      while (i < m) {	
        res[idx++] = nums1[i++];	
      }	
      while (j < n) {	
        res[idx++] = nums2[j++];	
      }	
      return res;	
    }	
}

解法二 - 二分查找（Binary Search

class MedianSortedTwoArrayBinarySearch {	
  public static double findMedianSortedArraysBinarySearch(int[] nums1, int[] nums2) {	
     // do binary search for shorter length array, make sure time complexity log(min(m,n)).	
     if (nums1.length > nums2.length) {	
        return findMedianSortedArraysBinarySearch(nums2, nums1);	
      }	
      int m = nums1.length;	
      int n = nums2.length;	
      int lo = 0;	
      int hi = m;	
      while (lo <= hi) {	
        // partition A position i	
        int i = lo + (hi - lo) / 2;	
        // partition B position j	
        int j = (m + n + 1) / 2 - i;	
        int maxLeftA = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];	
        int minRightA = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];	
        int maxLeftB = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];	
        int minRightB = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];	
        if (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA) {	
          // total length is even	
          if ((m + n) % 2 == 0) {	
            return (double) (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;	
          } else {	
            // total length is odd	
            return (double) Math.max(maxLeftA, maxLeftB);	
          }	
        } else if (maxLeftA > minRightB) {	
          // binary search left half	
          hi = i - 1;	
        } else {	
          // binary search right half	
          lo = i + 1;	
        }	
      }	
      return 0.0;	
    }	
}