POJ1740 - A New Stone Game-优快云博客

本文解析了一种博弈论游戏的策略，其中两名玩家Alice和Bob轮流操作，目标是在多堆石子中通过拿取和重新分配石子来创造必败局面，确保自己成为最后的胜利者。文章详细阐述了游戏规则、必胜策略，并提供了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

n(n≤10)堆石子，每堆石子不超过100个。Alice和Bob轮流进行以下操作：
1. 选择一堆石子，从中拿走至少1个；
2. 将这堆石子中的任意个（可以为0）任意地分配给其他还有石子的堆。
两人都按最优策略进行操作，Alice先手。求必胜者。

Solution

容易知道，只剩一堆时先手必胜。那么{1,1}时先手必败。
由此可以知道，剩下数目相同的一对石子堆时先手必败；因为后手一定可以保持两堆的数目相同，那么拿到{1,1}的必然是先手。同理，当数量相同的石子堆可以组成若干对时先手必败。

结论：除非Alice直接面临必败局面，否则必胜。

下面证明一下。
首先将这n堆石子从小到大排序为a1,a2,...,an，在数轴上排列如下。

n为奇数时，Alice可以将an搬空，用来将a1补成a2，a3补成a4…从而形成必败局面。从图中易知an≥(a2−a1)+(a4−a3)+...所以Alice必胜。
n为偶数时，Alice可以将an搬成和a1一样多，用来将a2补成a3，a4补成a5…从而形成必败局面。从图中易知an−a1≥(a3−a2)+(a5−a4)+...所以Alice必胜。
但Alice直接面临必败局面是没有办法的，此时输给Bob。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
int n,cnt[110];
int main()
{
    while(true)
    {

    scanf("%d",&n); if(n==0) break;
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++) {int x; scanf("%d",&x); cnt[x]++;}
    if(n%2==1) {printf("1\n"); continue;}
    bool lose=true;
    for(int i=1;i<=100;i++) if(cnt[i]%2) lose=false;
    if(lose) printf("0\n"); else printf("1\n");

    }
    return 0;
}