好累啊~~HO

自己欣赏一下吧,也是这一个月来的成果:)
108593.html

my 2007-04-05 09:18 发表评论
### 方差分析(ANOVA)的工作原理及数学基础 #### 1. ANOVA 的基本定义 方差分析 (Analysis of Variance, 简称 ANOVA) 是一种统计方法,用于评估多个样本均值之间的差异是否显著。它通过比较组间变异与组内变异来判断不同水平下的因子是否存在显著影响[^3]。 --- #### 2. 工作原理概述 ANOVA 的核心思想在于分解总变异性为两部分: - **组间变异**:由实验处理或自变量的不同水平引起的变异。 - **组内变异**:由个体间的随机误差或其他未控制的因素引起的变化。 如果组间变异远大于组内变异,则可以推断至少有一个因子水平对因变量产生了显著影响;反之则认为各因子水平之间无明显区别[^2]。 具体计算过程如下: ##### (1)假设设定 - 零假设 \( H_0 \): 各个总体均值相等 (\( μ_1 = μ_2 = ... = μ_k \)); - 备择假设 \( H_a \): 至少存在一对不相等的均值。 ##### (2)平方和分解 总离差平方和 SST 被分为两项: \[ SST = SSB + SSE \] 其中, - \( SST \) 表示总的偏差平方和; - \( SSB \) 表示组间偏差平方和; - \( SSE \) 表示组内偏差平方和。 这些量分别衡量整体数据分布情况以及每组内部成员围绕其平均值散布的程度[^1]。 ##### (3)自由度分配 对于 k 组 n_i 个观测值的情况: - 总体自由度 df_total = N - 1; - 组间自由度 df_between = k - 1 ; - 组内自由度 df_within = N - k. 这里 N=\sum_{i=1}^{k}{n_i}, 即所有观察数量之合. ##### (4)F 检验统计量构建 利用上述信息得到 F 值: \[ F = \frac{MSB}{MSE} \] 其中, - MSB (Mean Square Between Groups)=SSB/df_between; - MSE(Mean Square Error within groups)=SSE/df_within; 当零假成立时,F 应该接近于1; 如果实际算得较大数值说明可能拒绝原设. 最后查表或者软件得出P-value并与给定α做对比决定接受还是否定Ho. --- #### 3. 数学表达形式总结 以下是单因素方差分析的主要公式集合: | 名词 | 定义 | |--------------|------------------------------------------------------------------------------------------| | 平均数 | 对应每一类别下样本求取简单算术平均 | | SS(total) | 所有测量值得到相对于全局大均值偏离程度累积 | | SS(between) | 不同类別中心点相对全體資料集中位置偏移累積 | | SS(within) | 类别內個別數據對應該類別中心點距離總和 | \[ SS(\text{{total}}) = \sum{(y-\bar y)^2} \] \[ SS(\text{{between}}) = \sum{n_j*(\bar {y}_j - \bar y )^2 } \] \[ SS(\text{{within}}) = \sum{\sum(y_ij-\bar {y}_j)^2 } \] 以上各式中,\( y\)代表原始资料项;\( \bar y\)表示全体资料平均;\( \bar {y}_j\)则是第 j类别的局部平均;n_j指的是属于这个分类的数量. --- ```python import numpy as np from scipy.stats import f_oneway # 示例数据集 group1 = [np.random.normal(loc=5, scale=1, size=10)] group2 = [np.random.normal(loc=7, scale=1, size=10)] group3 = [np.random.normal(loc=9, scale=1, size=10)] f_statistic, p_value = f_oneway(group1, group2, group3) print(f"F-statistic: {f_statistic}") print(f"P value: {p_value}") ``` 此代码片段展示了如何使用 Python 中 SciPy 库执行 One-Way ANOVA 测试并获得相应的 F 和 P 值结果. ---
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