字符串匹配KMP算法讲解

KMP算法

引子

假设我们解决这样一个问题：

有字符串S与模式串P，想知道模式串P在字符串S的什么位置，应如何解决？

解决子串匹配问题
字符串S：“abcabcabd”
模式串P：“abcabd”

采用暴力(Brute Force)算法，即朴素算法的做法：
依次比较每个字符，直到串的每个字符都一一吻合。
算法执行流程：

1. 每个字符比较后，直到发现c与d不符合，将模式串向后移动。
   

2. 发现b与a不符合，模式串再向后移动。
   

3. 发现c与a不符合，模式串再向后移动。
   

4. 每个字符比较，发现一一吻合。

朴素算法中，一旦匹配不成功，要到目标串下一位，再和模式串从头匹配，流程相对繁琐。很明显，例子中的2与3步骤是可以省略的，关键在于，能否保存两个串中，相同部分的字符，每次移动模式串时，直接忽略其中字符不相同的部分，来优化整个匹配流程。这就是KMP算法的核心。

什么是KMP算法

KMP算法，即Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法。KMP算法由Knuth、Morris和Pratt提出，是字符串匹配算法的一种改进算法。

KMP算法通常需要一个部分匹配表（Partial Match Table）。用next数组保存部分匹配值，也就是前 i 个字符所组成的子串的真前缀与真后缀相同的最大长度。当发生不匹配时，直接从next数组保存的索引开始匹配，忽略不必要的匹配操作。

需要知道的知识

真前缀

真前缀，指字符串首部开始的除了最后一个字符的所有子串。
例如"abcde"的真前缀有[a,ab,abc,abcd]

真后缀

真后缀，指字符串尾部开始的除了第一个字符的所有子串。
例如"abcde"的真后缀有[bcde,cde,de,e]

真前缀与真后缀相同的最大长度

例如"ababa"的真前缀为[a,ab,aba,abab]，真后缀为[baba,aba,ba,a]，其中相同的最长子串为"aba" 即最大长度为3。

next数组

根据模式串中每个字符的，前 i 个字符所组成的子串的真前缀与真后缀相等的最大长度，可求的一个next数组。
以"abcabd"为例：

索引	0	1	2	3	4	5
模式串	a	b	c	a	b	d
next数组	0	0	0	1	2	0

当目标串与模式串不匹配时，模式串向右移动位数 = 已经匹配的字符数 - 前一位已匹配字符的最大长度值。

实际操作中，会用指针的移动来代替模式串的移动，也就是将比较指针，移动到前一位已匹配的next数组值的索引。

字符串S：“abcabcabd”
模式串P：“abcabd”
例子中，在模式串索引为5的字符d出现问题，会将比较指针移动到next数组索引为4的值，也就是从模式串中索引为2的字符开始下轮比较。

注意：不同的写法会有不同的next数组，尽管写法不同，但整体的算法思想是相同的，区别只在于如何利用next数组。

例如同样的模式串的不同next数组：

索引	0	1	2	3	4	5
模式串	a	b	c	a	b	d
next数组	-1	0	0	0	1	2

其中-1通常会在算法中作为边界值使用。

当目标串与模式串不匹配时，模式串向右移动位数 = 不匹配的字符索引 - 不匹配字符的所对应的next数组值。

两种方式中，“已经匹配的字符数” 在 “不匹配的字符索引” 的前一位。“前一位已匹配字符的最大长度值” 同样在 “不匹配字符的所对应的next数组值” 的前一位。也就是说两个不同next数组在比较中，使得模式串移动的位数是一样的，所达到的实际效果也是一样的。

KMP算法为什么是正确的

KMP算法是如何正确的

前面已经做了很多铺垫。当发生字符不匹配时，实际上是将模式串中已经匹配部分的后缀与模式串的前缀进行比较，获取两者相同的部分，进而忽略不匹配的部分。由于发生部分不匹配时，在不匹配之前的字符一定是匹配的，所以这些步骤在模式串本身就可以实现。得到next数组的过程，实际上就是模式串自己匹配自己的过程，也就是获取模式串本身的真前缀和真后缀相同的最大长度，将长度保存下来，即得到要获取的next数组。匹配的时候，模式串再根据next数组的值进行移动。

next数组的实现

next数组的实现通常分为：
初始化，前后缀不相同时操作，前后缀相同时操作，next数组赋值。

• 初始化包括指针 i 和指针 j 的值，还有next数组的索引为 0 的值。
• i 为标准指针， j 为比较指针。在以 i 为标准在for循环中，遍历每个字符，在内嵌的while循环中比较字符是否相同，如果不相同便将已经匹配的字符数传给比较指针 j 。
• 在之前以 i 为标准的for循环中，如果比较字符相同，使比较指针 j 自增， j 不仅代表比较指针，同时也记录已匹配的字符数。
• 最后将已