1. 每个结点不是红⾊就是⿊⾊
2. 根结点是⿊⾊的
3. 如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点。
4. 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点
说明：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道⼀下这个概念即可。

最短路径为一条路径全是全黑的节点，假设最短路径⻓度为bh

最长路径为一黑一红间隔组成，那么最⻓路径的⻓度为2*bh。（每条路径上的黑色节点数要相同）

红黑树的效率

假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么 2 ^h -1 <= N < 2 ^(2∗h)- 1, 由此推出h ≈ logN ，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径 2 ∗ logN ，那么时间复杂度还是O(logN)。

红⿊树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过⾼度差直观的控制了平衡。红⿊树通过4条规则的颜⾊约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对⽽⾔，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

红黑树的实现

红黑树的结构

using namespace std;
#include<iostream>
enum Color
{
	RED,
	BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
	Node* _right;
	Node* _left;
	Node* _parent;
	Color _col;
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_right(nullptr)
		,_left(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
	{}
};
template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
	Node* _root = nullptr;
};

红黑树的插入

红黑树树插入一个值的大概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。
2. 如果是空树插⼊，新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
3. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束
4. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。

进⼀步分析，c是红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下⼏种情况分别处理。
说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为g(grandparent)，p的兄弟标识为u（uncle）。

情况1：变色

c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。
分析：因为p和u都是红⾊，g是⿊⾊，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，g再变红，相当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束了；如果g就是整棵树的根，再把g变回⿊⾊。
情况1只变⾊，不旋转。所以⽆论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上⾯的变⾊处理⽅式。

情况2：单旋+变⾊

关于旋转的相关知识，可以参考一下C++之AVL树

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。

分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊。
g
p u
c
如果p是g的左，c是p的左，左子树高，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
g
u p
c

如果p是g的右，c是p的右，右子树高，那么以g为旋转点进⾏左单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

u不存在的情况：

u存在且为黑色节点的情况：

同理可得，左单旋。

情况3：双旋+变⾊

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解决问题，需要旋转+变⾊。
g
p u
c
如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变
⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
g
u p
c
如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进⾏右单旋，再以g为旋转点进⾏左单旋，再把c变
⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

u不存在的情况：

u存在且为黑色节点的情况：

完整插入代码：

	//AVL树中旋转还要改变平衡因子，但是红黑树中不涉及平衡因子，所以记得把平衡因子删除
    void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parentParent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentParent->_left)
			{
				parentParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = parentParent;
		}
	}
     void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;

		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
			{
				parentParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				parentParent->_right = subL;
			}

			subL->_parent = parentParent;
		}
	}
	//插入
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		//遍历需要插入的位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if(cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
		if (parent->_col == BLACK)
		{
			return true;
		}
			//无论怎么旋转，grandparent都要变成红节点
			//在单旋转中，parent节点变成黑节点，再双旋中，cur节点变成黑节点。
			while (parent && parent->_col == RED)//向上更新需要循环
			{
				Node* grandparent = parent->_parent;
				if (parent == grandparent->_left)
				{
					Node* uncle = grandparent->_right;
					if (uncle && uncle->_col == RED)
					{
						parent->_col = uncle->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
						cur = grandparent;
						parent = cur->_parent;
					}

					//uncle不存在或者存在为黑色
					else
					{
						   //   g
						  //  p   u
						 //  c
						//如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即
						if (cur == parent->_left)
						{
							RotateR(grandparent);
							parent->_col = BLACK;
							grandparent->_col = RED;
						}
						  //   g
						 //  p   u
					     //   c
						//如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进行左旋，
                      //再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变⿊，g变红即可
						else
						{
							RotateL(parent);
							RotateR(grandparent);
							cur->_col = BLACK;
							grandparent->_col = RED;
						}
					    	break; //位置不能有误。如果放在下一行的话，就不能继续向上调整颜色
					}
				
				}
				else
				{
					//   g
				//     u   p
					Node* uncle = grandparent->_left;
					if (uncle && uncle->_col == RED)
					{
						uncle->_col = parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
						cur = grandparent;
						parent = cur->_parent;
					}
					else
					{
						if (cur == parent->_left)
						{
							//     g
			             //     u     p
							//      c
							RotateR(parent);
							RotateL(grandparent);
							cur->_col = BLACK;
							grandparent->_col = RED;
						}
						else
						{
							//       g
					     //       u     p
						//                c
							RotateL(grandparent);
							grandparent->_col = RED;
							parent->_col = BLACK;
						}
						break;
					}
					
				}
			}
				
		_root->_col = BLACK;
		return true;	
	}

红黑树的查找

按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)。

Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

红黑树的验证

思路：

1.规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。
2. 规则2直接检查根即可
3. 规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。
4. 规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可。（先计算其中一条，再用递归计算其他路径的黑色节点数，如果有不同的，就不平衡）

完整代码：

	bool Cheak(Node* root,int BlackNum,int ret)
	{
		if (root == nullptr)
		{
           //一条路径走到尾了
			if (BlackNum != ret)
			{
				cout << "存在的黑色节点数不一样" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK)
		{
			BlackNum++;
		}
		return Cheak(root->_left, BlackNum, ret) && Cheak(root->_right, BlackNum, ret);
	}
	bool IsBalance()
	{
		if (_root->_col == RED)
		{
			return false;
		}
		if (_root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		Node* cur = _root;
		int ret=0;
//计算最左路径的黑色节点数
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				ret++;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		return Cheak(_root, 0, ret);
	}

测试用例：

void test_HBTree()
{
	     RBTree<int, int> t;
		// 特殊的带有双旋场景的测试用例
		int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
		for (auto e : a)
		{
			t.Insert({ e, e });
		}
		cout << t.IsBalance() << endl;
}
int main()
{
	test_HBTree();
	return 0;
}

测试结果：

其中InOrder()为中序遍历。