[POJ] 1201 Intervals [差分约束]

差分约束算法解析

最新推荐文章于 2019-09-21 10:35:07 发布

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本文通过一道具体题目，介绍了如何使用差分约束算法解决数轴上区间覆盖的问题，并给出了详细的算法实现过程及代码示例。

题意：给出数轴上的n个区间[ai,bi]，每个区间都是连续的，Z集合由一堆数轴上面的元素组成，Z里面的元素和[ai,bi]的交集有ci个元素，问Z里面至少有多少个元素；

思路：差分约束；用一个数组Dis[x]表示从0到x一共有多少个Z里面的元素；

那么[ai,bi]里面与Z交集的元素的个数就是Dis[bi]-Dis[ai-1](因为如果集合里面的元素含有ai的话，那么Dis[bi]-Dis[ai]就会少掉ai这个元素)

1.由题意，因为是至少，所以Dis[bi]-Dis[ai-1]>=ci;

2.因为是整数，所以0<=Dis[i]-Dis[i-1]<=1,要么i这个点在Z里面就是Dis[i]-Dis[i-1]=1不在里面Dis[i]=Dis[i-1];

由上面两个约束条件可以列出方程(不等号方向要一致)

1.Dis[ai-1]+ci<=Dis[bi]->Dis[ai-1]<=Dis[bi]-ci

2.Dis[i-1]-Dis[i]<=0->Dis[i-1]<=Dis[i]

3.Dis[i]-Dis[i-1]<=1->DIs[i]<=Dis[i-1]+1

这就可以看作是源点到每个点的最小距离Dis[x],初始化为0，ci就是（ai-1，bi)的边权

当某个边满足这三个式子的其中一个的时候，对这条边进行relax处理（更新左边的值）

//Bellman-Ford 算法

if(Dis[ai-1]>Dis[bi]-ci) Dis[ai-1]=Dis[bi]-ci

if(Dis[i-1]>Dis[i]) Dis[i-1]=Dis[i];

if(Dis[i]>DIs[i-1]+1) DIs[i]=Dis[i-1]+1;

最后答案就是源点到最大顶点的距离减去源点到最小定点的距离

上代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    int a,b;
};
node Map[50000+1];
int c[50000+1];
int dis[50000+1];
int n;
int up,down;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {

        up=-1;
        down=0x3f3f3f;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int s,e;
            scanf("%d %d %d",&s,&e,&c[i]);
            Map[i].a=s;
            Map[i].b=e+1;
            up=max(up,Map[i].b);//找最大和最小的点
            down=min(down,Map[i].a);
            dis[i]=0;

        }
       //Bellman-Ford 算法 
        int flag=1;
        while(flag)//如果没有边满足这三个条件就可以跳出循环了
        {
            flag=0;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
              if(dis[Map[i].a]>dis[Map[i].b]-c[i])
              {
                  flag=1;
                  dis[Map[i].a]=dis[Map[i].b]-c[i];
              }

            }
            for(int i=down;i<up;i++)
            {
                if(dis[i+1]>dis[i]+1)
                {
                    dis[i+1]=dis[i]+1;
                    flag=1;
                }
            }
            for(int i=up-1;i>=down;i--)
            {
                if(dis[i]>dis[i+1])
                {
                    dis[i]=dis[i+1];
                    flag=1;
                }
            }

        }
        printf("%d\n",dis[up]-dis[down]);
    }
    return 0;
}

参考博客：http://blog.youkuaiyun.com/lyy289065406/article/details/6648686