2.2向量组线性相关&线性表出

📐 1. 线性相关性基础概念回顾

1. 线性相关 (Linearly Dependent): 如果一个向量组中至少有一个向量可以被组内其他向量线性表示，那么这个向量组是线性相关的。

2. 线性无关 (Linearly Independent): 如果向量组中的任何一个向量都不能被组内其他向量线性表示，那么这个向量组是线性无关的。

📚 2. 定理讲解

• 原无关加上β变相关，则β唯一表示
• 多出来的向量可以由少的向量组线性表示，即这些多出来的向量是冗余的，可以表示为其他向量的线性组合。那么这个多的向量组一定是线性相关的。
• 相关Ak=0(k≠0) |A|=0 r<m
• 部分相关整体相关,整体无关部分无关
• 原无关延长无关，相关缩短相关
•  非0向量之间正交必然无关，
• 0和任何正交，相关

定理 1 (整体与部分)

向量组与其**子集（部分）或超集（整体）**之间线性相关性的关系，这是最常用的判定规则。

• Part 1 (部分相关 ⇒ 整体相关):

  若 α,β 线性相关，则 α,β,γ 必线性 相关。

  • 解释： 如果一个向量组的部分（子集）已经线性相关了，意味着子集中的某个向量可以被子集中的其他向量表示。将这个子集放入一个更大的整体（超集）后，这个表示关系依然成立，所以整个超集当然也是线性相关的。

• Part 2 (整体无关 ⇒ 部分无关):

  若 α,β,γ 线性无关，则 α,β 必线性 无关。

  • 解释： 如果一个向量组的整体（超集）是线性无关的，这意味着整体中的任何一个向量都不能被其他向量线性表示。那么取它的任何部分（子集），子集中的向量之间自然也不可能存在线性表示关系，所以这个子集也是线性无关的。

定理 2 (分块向量组：局部与整体的关系)

习题

定理3(以少表多，多的相关)

 非0向量之间正交必然无关，

习题

p1p2p3用a1a2a3表示：