量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱之偏微分方程2】

最新推荐文章于 2025-06-14 19:00:00 发布

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#python #量化 #quant #c语言 #机器学习

本文是量化分析师的偏微分方程系列的第二篇，主要介绍隐式差分格式，通过三对角矩阵求解方法解决稳定性问题。内容包括隐式格式的数学表述、线性方程组的求解以及使用加速算法的实现。文章还强调了使用成熟库如scipy进行优化的益处，并预告将应用这些知识到Black-Scholes-Merton偏微分方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

 
    这是量化分析师的偏微分方程系列的第二篇，在这一篇中我们将解决上一篇显式格式留下的稳定性问题。本篇将引入隐式差分算法，读者可以学到：
隐式差分格式描述
三对角矩阵求解
如何使用scipy加速算法实现
 在完成两天的基础学习之后，在下一天中，我们将把已经学到的知识运用到金融定价领域最重要的方程之一：Black - Shcoles - Merton 偏微分方差
 
 
 注意： 下文中需要的自建库 utilities，可以从链接  https://uqer.io/community/share/568dfcbe228e5b18e3ba2980 中克隆得到。如何保存library，请见：https://uqer.io/help/faq/#什么是Library
 
 
 
from CAL.PyCAL import *
from matplotlib import pylab
import seaborn as sns
import numpy as np
np.set_printoptions(precision = 4)
font.set_size(20)

def initialCondition(x):
    return 4.0*(1.0 - x) * x
 
        1. 隐式差分格式 
        
      
 像上一天一样，我们从差分格式的数学表述开始。隐式格式与显式格式的区别，在于我们时间方向选择的基准点。显式格式使用 k ，而隐式格式选择 k+1 :
 \begin{align}\frac{\partial u(x_j, \tau_{k+1})}{\partial\tau} &= \frac{u_{j,k+1} - u_{j,k}}{\Delta \tau} + O(\Delta \tau) \\\\\frac{\partial^2 u(x_j, \tau_{k+1})}{\partial x^2} &= \frac{u_{j-1,k+1} - 2u_{j,k+1} + u_{j+1,k+1}}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2) \\\\\end{align}
 剩下的推到过程我完全一样，我们看到无论隐式格式还是显式格式，它们的截断误差是一样的：
 \begin{align}u_{\tau}(x_j,\tau_{k+1}) - \kappa u_{xx}(x_j,\tau_{k+1}) &= 0 \\\\\frac{u_{j,k+1} - u_{j,k}}{\Delta \tau} - \kappa \frac{u_{j-1,k+1} - 2u_{j,k+1} + u_{j+1,k+1}}{\Delta x^2} &= O(\Delta \tau) + O(\Delta x^2)\end{align}
 用离散值 Uj,k 替换 uj,k ，我们得到差分方程：
 \begin{align}&\frac{U_{j,k+1} - U_{j,k}}{\Delta \tau} - \kappa \frac{U_{j-1,k+1} - 2U_{j,k+1} + U_{j+1,k+1}}{\Delta x^2} &= 0, \\\\\Rightarrow& \quad U_{j,k+1} - U_{j,k} - \frac{\kappa\Delta \tau}{\Delta x^2}(U_{j-1,k+1} - 2U_{j,k+1} + U_{j+1,+1k}) &= 0, \\\\\Rightarrow& \quad U_{j,k+1} - U_{j,k} - \rho(U_{j-1,k+1} - 2U_{j,k+1} + U_{j+1,k+1}) &= 0.\end{align}
 最后，到这里我们得到一个迭代方程组：
 
 
         −
       

  