漫画：图的最短路径问题

 

 

—————  第二天  —————

 

 

 

 

 

 

 

如何遍历呢？

 

第一层，遍历顶点A：

 

 

 

第二层，遍历A的邻接顶点B和C：

 

 

第三层，遍历顶点B的邻接顶点D、E，遍历顶点C的邻接顶点F：

 

 

第四层，遍历顶点E的邻接顶点G，也就是目标节点：

 

 

由此得出，图中顶点A到G的（第一条）最短路径是A-B-E-G：

 

 

 

 

 

换句话说，就是寻找从A到G之间，权值之和最小的路径。

 

 

 

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究竟什么是迪杰斯特拉算法？它是如何寻找图中顶点的最短路径呢？

 

这个算法的本质，是不断刷新起点与其他各个顶点之间的 “距离表”。

 

让我们来演示一下迪杰斯特拉的详细过程：

 

第1步，创建距离表。表中的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离。但是，一开始我们并不知道A到其他顶点的最短距离是多少，Value默认是无限大：

 

 

 

第2步，遍历起点A，找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中：

 

 

 

第3步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点C。

 

第4步，遍历顶点C，找到顶点C的邻接顶点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是6，所以A到D的距离是2+6=8；从C到F的距离是8，所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

接下来重复第3步、第4步所做的操作：

 

第5步，也就是第3步的重复，从距离表中找到从A出发距离最短的点（C已经遍历过，不需要考虑），也就是顶点B。

 

第6步，也就是第4步的重复，遍历顶点B，找到顶点B的邻接顶点D和E（A已经遍历过，不需要考虑）。从B到D的距离是1，所以A到D的距离是5+1=6，小于距离表中的8；从B到E的距离是6，所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

（在第6步，A到D的距离从8刷新到6，可以看出距离表所发挥的作用。距离表通过迭代刷新，用新路径长度取代旧路径长度，最终可以得到从起点到其他顶点的最短距离）

 

第7步，从距离表中找到从A出发距离最短的点（B和C不用考虑），也就是顶点D。

 

第8步，遍历顶点D，找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1，所以A到E的距离是6+1=7，小于距离表中的11；从D到F的距离是2，所以从A到F的距离是6+2=8，小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

第9步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点E。

 

第10步，遍历顶点E，找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7，所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中：

 

 

第11步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点F。

 

第10步，遍历顶点F，找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3，所以A到G的距离是8+3=11，小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中：

 

 

就这样，除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离。显然，从A到G的最短距离是11。（路径：A-B-D-F-G）

 

 

按照上面的思路，我们来看一下代码实现：

/**

* Dijkstra最短路径算法

*/

public static Map<Integer, Integer> dijkstra(Graph graph, int startIndex) {

//创建距离表，存储从起点到每一个顶点的临时距离

Map<Integer, Integer> distanceMap = new HashMap<Integer,Integer>();

//记录遍历过的顶点

Set<Integer> accessedSet = new HashSet<Integer> ();

//图的顶点数量

int size = graph.vertexes.length;

//初始化最短路径表，到达每个顶点的路径代价默认为无穷大

for(int i=1; i<size; i++){

distanceMap.put(i, Integer.MAX_VALUE);

}

//遍历起点，刷新距离表

accessedSet.add(0);

List<Edge> edgesFromStart = graph.adj[startIndex];

for(Edge edge : edgesFromStart)

{

distanceMap.put(edge.index, edge.weight);

}

//主循环，重复 遍历最短距离顶点和刷新距离表 的操作

for(int i=1; i<size; i++)

{

//寻找最短距离顶点

int minDistanceFromStart = Integer.MAX_VALUE;

int minDistanceIndex = -1;

for(int j=1; j<size; j++)

{

if(!accessedSet.contains(j) && distanceMap.get(j) < minDistanceFromStart)

{

minDistanceFromStart = distanceMap.get(j);

minDistanceIndex = j;

}

}

if(minDistanceIndex == -1){

break;

}

//遍历顶点，刷新距离表

accessedSet.add(minDistanceIndex);

for(Edge edge : graph.adj[minDistanceIndex])

{

if(accessedSet.contains(edge.index)){

continue;

}

int weight = edge.weight;

int preDistance = distanceMap.get(edge.index);

if(weight != Integer.MAX_VALUE && (minDistanceFromStart+ weight < preDistance))

{

distanceMap.put(edge.index, minDistanceFromStart + weight);

}

}

}



return distanceMap;

}



public static void main(String[] args) {

Graph graph = new Graph(7);

initGraph(graph);

Map<Integer, Integer> distanceMap = dijkstra(graph, 0);

int distance = distanceMap.get(6);

System.out.println(distance);

}



/**

* 图的顶点

*/

private static class Vertex {

String data;

Vertex(String data) {

this.data = data;

}

}



/**

* 图的边

*/

private static class Edge {

int index;

int weight;

Edge(int index, int weight) {

this.index = index;

this.weight = weight;

}

}



/**

* 图

*/

private static class Graph {

private Vertex[] vertexes;

private LinkedList<Edge> adj[];



Graph(int size){

//初始化顶点和邻接矩阵

vertexes = new Vertex[size];

adj = new LinkedList[size];

for(int i=0; i<adj.length; i++){

adj[i] = new LinkedList<Edge>();

}

}

}



private static void initGraph(Graph graph){

graph.vertexes[0] = new Vertex("A");

graph.vertexes[1] = new Vertex("B");

graph.vertexes[2] = new Vertex("C");

graph.vertexes[3] = new Vertex("D");

graph.vertexes[4] = new Vertex("E");

graph.vertexes[5] = new Vertex("F");

graph.vertexes[6] = new Vertex("G");



graph.adj[0].add(new Edge(1, 5));

graph.adj[0].add(new Edge(2, 2));

graph.adj[1].add(new Edge(0, 5));

graph.adj[1].add(new Edge(3, 1));

graph.adj[1].add(new Edge(4, 6));

graph.adj[2].add(new Edge(0, 2));

graph.adj[2].add(new Edge(3, 6));

graph.adj[2].add(new Edge(5, 8));

graph.adj[3].add(new Edge(1, 1));

graph.adj[3].add(new Edge(2, 6));

graph.adj[3].add(new Edge(4, 1));

graph.adj[3].add(new Edge(5, 2));

graph.adj[4].add(new Edge(1, 6));

graph.adj[4].add(new Edge(3, 1));

graph.adj[4].add(new Edge(6, 7));

graph.adj[5].add(new Edge(2, 8));

graph.adj[5].add(new Edge(3, 2));

graph.adj[5].add(new Edge(6, 3));

graph.adj[6].add(new Edge(4, 7));

graph.adj[6].add(new Edge(5, 3));

}