18、精准的系统级匿名性度量与Tor性能优化

精准的系统级匿名性度量与Tor性能优化

1. 系统匿名性度量

在研究系统的匿名性度量时，我们需要求解一组特定的方程，以找到所有 $r_i$ 和 $c_i$ 都为正的解。对于特定的缩放情况，有一组解如下：
$R = \begin{pmatrix} \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \sqrt{5} - 2 \end{pmatrix}$
$C = \begin{pmatrix} \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, 1 \end{pmatrix}$

虽然存在多个这样的解，但Sinkhorn证明了所有解在标量因子上是唯一的。也就是说，如果 $(R_1, C_1)$ 和 $(R_2, C_2)$ 是上述方程的解，那么对于某个 $\alpha > 0$，有 $R_2 = R_1\alpha$ 且 $C_2 = C_1/\alpha$。不过，由于 $CA$ 的唯一性，所有解都会得到相同的结果矩阵。

Sinkhorn和Knopp还给出了 $CA$ 的另一种有趣的特征描述，即它是一个无限矩阵序列的极限。定义三个函数 $f$、$g$ 和 $h$ 如下：
- $f(M) {ij} = \frac{M {ij}}{\sum_{k = 1}^{n}M_{ik}}$（$f$ 对 $M$ 的每一行进行归一化）
- $g(M) {ij} = \frac{M {ij}}{\sum_{k = 1}^{n}M_{kj}}$（$g$ 对 $M$ 的每一列进行归一化）
- $h(M) = g(f(M))