详解最小生成树之Kruskal算法【C++】【P2330题解】

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例题

 P2330 [SCOI2005] 繁忙的都市

算法简介

Kruskal算法是一种贪心算法，用于在加权连通图中求解最小生成树（MST）。

最小生成树

在给定的连通加权无向图中，最小生成树（MST）是一棵：

包含所有顶点
边的权重之和最小
无环（即是一棵树） 的子图。

算法思想

把所有边按照权值排序（从小到大）
每次选取一条边，判断两个顶点是否已经在一个集合内
如果没有在一个集合内就合并。

模拟算法过程

有这样一张图：

把边按照权值从小到大排序后结果如下：

[3 4] 2
[1 2] 3
[3 5] 4
[1 3] 5
[2 4] 7
[4 6] 9
[5 6] 11

边[3 4]
3和4不在一个集合，连接3和4。

边[1 2]
1和2不在一个集合，连接1和2.

边[3 5]
3和5不在一个集合，连接3和5。

边[1 3]
1和3不在一个集合，连接1和3。

边[2 4]
2和4已在一个集合，不操作。

边[4 6]
4和6不在一个集合，连接4和6。

边[5 6]
5和6已在一个集合，不操作。

核心代码如下（通过并查集高效管理顶点的连通性，判断是否成环）：

for (int i = 1; i <= m; i++) {
    if (Find(a[i].x) != Find(a[i].y)) { // 并查集 找祖先
        Merge(a[i].x, a[i].y); // 合并祖先
    }
}

例题 P2330 [SCOI2005] 繁忙的都市

提示：最小生成树边数就是n - 1（n为顶点数），不需要统计！

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 305, M = 8005;

struct Node {
    int x, y, v;
} a[M];

int n, m, s[N];

void Init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = i;
}

int Find(int x) {
    return s[x] != x ? s[x] = Find(s[x]) : x;
}

void Merge(int x, int y) {
    x = Find(x);
    y = Find(y);
    if (x != y)
        s[x] = y;
}

bool cmp(const Node& a, const Node& b) {
    return a.v < b.v;
}

void Kruskal() {
    int mx;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (Find(a[i].x) != Find(a[i].y)) {
            Merge(a[i].x, a[i].y);
            mx = a[i].v;
        }
    }
    cout << n - 1 << " " << mx << endl;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    Init();
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].v;
    sort(a + 1, a + 1 + m, cmp);
    Kruskal();
    return 0;
}