挖宝

最新推荐文章于 2023-09-08 21:52:41 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7770531.html

本文介绍了一种解决挖宝问题的方法，利用二分答案与动态规划技术，将复杂的分数最大化问题转化为整数操作问题。通过枚举答案A，并验证其可行性，逐步逼近最优解。

挖宝（二分答案+dp）

n个点，有m条边连接。小R从第一个点开始走，且必须从编号小的点走到编号大的点，直到走到第n个点。每条边有时间\(t[i]\)，价值\(w[i]\)，求\(max(\frac{\sum w[i]}{\sum t[i]})\)。

先考虑直接dp出答案，怎么设计状态呢？我们发现分数是不能累加的，导致转移不了状态。所以可不可以通过枚举答案，然后验证解来解题呢？如果当前枚举的答案是A，说明\(\sum w[i]-\sum t[i]*A=0\)。于是这样，我们就把分数的状态转化成了整数，可以进行累加了。\(f[i]\)表示前i个点，\(\sum w[i]-\sum t[i]*A\)的最大值。k是i的后继点，那么\(f[k]=max(f[i]+w[k, i]-t[k, i]*A, f[k])\)。如果\(f[k]>0\)，说明答案比A大，否则说明答案比A小。于是二分答案即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e4+5, maxm=1e5+5, INF=1e9;
const double eps=1e-5;

class Graph{
public:
    struct Edge{
        int to, next, t, w; Graph *bel;
        Edge& operator ++(){ return *this=bel->edge[next]; }
        inline int operator *(){ return to; }
    };
    void addedge(int x, int y, int t, int w){
        Edge &e=edge[++cntedge]; e.bel=this;
        e.to=y; e.next=fir[x]; e.t=t; e.w=w;
        fir[x]=cntedge;
    }
    Edge& getlink(int x){ return edge[fir[x]]; }
private:
    int cntedge, fir[maxn];
    Edge edge[maxm*2];
};

Graph g;
int n, m;
double f[maxn];

bool ok(double A){
    fill(f, f+maxn, -INF);
    f[1]=0; Graph::Edge e;
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        e=g.getlink(i);
        for (; *e; ++e){
            if (*e<i) continue;
            f[*e]=max(f[*e], f[i]+e.w-e.t*A);
        }
    }
    return f[n]>0;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int a, b, c, d; double l=0, r=1e5, mid;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
        if (a>b) swap(a, b);
        g.addedge(a, b, c, d);
    }
    while (r-l>eps){
        mid=(r+l)/2;
        if (ok(mid)) l=mid; else r=mid;
    }
    printf("%.4lf", mid);
    return 0;
}

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