背包整理(01背包，完全背包，多重背包，分组背包)（待更新）

01背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

对于每个物品，我们有两种选择：把这个物品放进背包还是不放。
d[i][v]表示前i件物品，恰放入容积为v的背包时的价值总和。
状态转移方程为

\[d[i][v] = \max(d[i - 1][v],d[i - 1][v - w[i]] + c[i])\]

优化(空间)

\[d[v] = \max(d[v],d[v - w[i]] + c[i])(倒序枚举)\]

因此处理一件01背包中的物品的过程为

    for(int v = V; v >= w[i]; v--){
        d[v] = max(d[v],d[v - w[i]] + c[i]);
    }

01背包的两种初始化

当题目要求背包被装满时，初始化时应使\(d[0]=0, d[1...V] = -\infty\)
因为当背包内没有放入物品时\(d[1...V]\)不可能被装满，是不合法的情况。
当题目没有要求背包恰好被装满时，初始化时应使\(d[0...V] = 0\)

完全背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i种物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]，每种物品有无限多个。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

用d[i][v]表示前i种背包装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值
对于一种物品，只有两种情况
　　情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:\[d[i-1][v]\]
　　情况二: 第i件放进去，这时，我们需要枚举放进去多少件，设为K，所得价值为：
\[d[i-1][v-K*c[i]]+K*w[i]\]

状态转移方程为：\(\max \limits_{0<=K<=v/w[i]} d[i-1][v-K*w[i]]+K*c[i]\)

//最暴力做法
for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int v = V; v >= w[i]; v--)
        for(int k = 1; k <= v/w[i]; k++){
            d[i][v] = max(d[i - 1][v - w[i]*k]+c[i]*k,d[i][v]);
        } 

优化

\[d[v] = max(d[v],d[v - w[i]] + c[i])(正序枚举/对于每种物品循环1次)\]

可以感性理解一下
因此处理一件完全背包中的物品的过程为

    for(int v = w[i]; v <= V; v++){
        d[v] = max(d[v],d[v - w[i]] + c[i]);
    }

多重背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i种物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]，第i种物品最多有n[i]件可用。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
用d[i][v]表示前i种物品装入容量为v的背包中所可以获得的最大价值

对于一种物品，只有两种情况
　　情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:\[d[i-1][v]\]
　　情况二: 第i件放进去，这时，我们需要枚举放进去多少件，设为K，所得价值为：\[d[i-1][v-K*w[i]]+K*c[i]\]
状态转移方程为：\[d[i][v] = \max \limits_{0<=K<=v/w[i]，K<= n[i]}(f[i-1][v-K*w[i]]+K*c[i])\]

二进制拆分优化

显然用\(2^0,2^1,2^2....2^{k-1}\)可以表示\(1\) 到 \(2^k -1\)中任意一个数。
我们把n[i]拆成将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为\(2^0,2^1,2^2....n[i] - (2^k - 1)\)。这样对于0...n[i]中的每个整数，都可以用若干系数的和表示。

for(int i = 1; i <= n; i++){
    int num = min(n[i],V/w[i]);
    for(int k = 1; num > 0; k <<= 1){
        if(k > num) k = num;
        num -= k;
        for(int v = V; v >= w[i]*k; v--)
            d[v] = max(d[v],d[v - w[i] * k] + c[i] * k);
    }
}

分组背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价格（即体积，下同）是w[i]，价值是c[i]。这N个物品分成了若干个组，每个组里面的商品不可以同时选择。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
对于每一组物品有两种决策
1.不选
2.选择其中一个物品
状态转移方程\[d[k][v]=max(dp[k-1][v],dp[k-1][v-w[i]]+c[i]) (i属于第k组）\]
显然对于每一组物品我们只做一次决策。
转化成一维\[d[v]=max(dp[v],dp[v-w[i]]+c[i])\]

for (所有的组k)
    for (int j = V; j >= 0; j--)
        for (所有属于组k的i)
            f[j] = max{f[j], f[j - w[i]] + v[i]}

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