BZOJ 3626 [LNOI2014]LCA 树链剖分离线+差分

最新推荐文章于 2022-11-13 13:05:02 发布

aosakixuan

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分类专栏：图论-树形图

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本文深入探讨了LNOI2014中关于LCA（最近公共祖先）的问题，提供了详细的算法解释和实现步骤。通过输入输出样例和数据规模说明，帮助读者理解如何解决在给定有根树结构下，查找两个节点最近公共祖先的深度和问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

3626: [LNOI2014]LCA

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Description

给出一个n个节点的有根树（编号为0到n-1，根节点为0）。一个点的深度定义为这个节点到根的距离+1。
设dep[i]表示点i的深度，LCA(i,j)表示i与j的最近公共祖先。
有q次询问，每次询问给出l r z，求sigma_{l<=i<=r}dep[LCA(i,z)]。
（即，求在[l,r]区间内的每个节点i与z的最近公共祖先的深度之和）

Input

第一行2个整数n q。
接下来n-1行，分别表示点1到点n-1的父节点编号。
接下来q行，每行3个整数l r z。

Output

输出q行，每行表示一个询问的答案。每个答案对201314取模输出

Sample Input

5 2
0
0
1
1
1 4 3
1 4 2

Sample Output

8
5

HINT

共5组数据，n与q的规模分别为10000,20000,30000,40000,50000。

Source

数据已加强 by saffah

引用一个题解：

直接复制gconeice的题解吧

显然，暴力求解的复杂度是无法承受的。
考虑这样的一种暴力，我们把 z 到根上的点全部打标记，对于 l 到 r 之间的点，向上搜索到第一个有标记的点求出它的深度统计答案。观察到，深度其实就是上面有几个已标记了的点（包括自身）。所以，我们不妨把 z 到根的路径上的点全部 +1，对于 l 到 r 之间的点询问他们到根路径上的点权和。仔细观察上面的暴力不难发现，实际上这个操作具有叠加性，且可逆。也就是说我们可以对于 l 到 r 之间的点 i，将 i 到根的路径上的点全部 +1, 转而询问 z 到根的路径上的点（包括自身）的权值和就是这个询问的答案。把询问差分下，也就是用 [1, r] − [1, l − 1] 来计算答案，那么现在我们就有一个明显的解法。从 0 到 n − 1 依次插入点 i，即将 i 到根的路径上的点全部+1。离线询问答案即可。我们现在需要一个数据结构来维护路径加和路径求和，显然树链剖分或LCT 均可以完成这个任务。树链剖分的复杂度为 O((n + q)· log n · log n)，LCT的复杂度为 O((n + q)· log n)，均可以完成任务。至此，题目已经被我们完美解决。

/** Author: ¡î¡¤aosaki(*¡¯(OO)¡¯*)  niconiconi¡ï **/
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
//#include<bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
//#include <tuple>
#define ALL(v) (v).begin(),(v).end()
#define foreach(i,v) for (__typeof((v).begin())i=(v).begin();i!=(v).end();i++)
#define SIZE(v) ((int)(v).size())
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define lp(k,a) for(int k=1;k<=a;k++)
#define lp0(k,a) for(int k=0;k<a;k++)
#define lpn(k,n,a) for(int k=n;k<=a;k++)
#define lpd(k,n,a) for(int k=n;k>=a;k--)
#define sc(a) scanf("%d",&a)
#define sc2(a,b) scanf("%d %d",&a,&b)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define ll long long
#define pi pair<int,int>
#define vi vector<int>
#define PI acos(-1.0)
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define TT cout<<"*****"<<endl;
#define TTT cout<<"********"<<endl;
inline int gcd(int a,int b)
{
    return a==0?b:gcd(b%a,a);
}
#define lth th<<1
#define rth th<<1|1
#define forout(i,l,r) for(i=l;i<=r;i++)
#define forin(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define clearit(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define INF 1e9
#define eps 1e-8
#define mod 201314
#define maxn 55555
#define maxm 222222
using namespace std;

int n,m,d=0,ind=0;
vector<int>point[maxn];
struct aoi
{
    int y,x,pos,num;
} q[maxn*2];
int deep[maxn]={0};//
int top[maxn]={0};//
int fa[maxn]={0};//
int size[maxn]={0};//
int son[maxn]={0};//
int zh[maxn]={0};
//int back[maxn]={0};
int newfa[maxn]={0};

int add[maxm]={0};
int sum[maxm]={0};
int ans[maxn]={0};

bool cmp(const aoi &a, const aoi &b)
{
    return a.y < b.y;
}

void input()
{
    int l,r,x;
    sc2(n,m);
    lp(i,n) point[i].clear();
    lpn(i,2,n)
    {
        sc(x);
        point[x+1].pb(i);
        fa[i]=x+1;
    }
    lp(i,m)
    {
        sc(l); sc(r); sc(x);
        l++;
        r++;
        x++;
        if (l!=1)
        {
            q[++d].y=l-1;
            q[d].x=x;
            q[d].pos=0;
            q[d].num=i;
        }
        q[++d].y=r;
        q[d].x=x;
        q[d].pos=1;
        q[d].num=i;
    }
    sort(q+1,q+d+1,cmp);
}

void dfs1(int x)
{
    size[x]=1;
    int mm=0;
    for (int i=0;i<point[x].size();i++)
    {
        int y=point[x][i];
        dfs1(y);
        size[x]+=size[y];
        if (size[y]>mm)mm=size[y], son[x]=y;
    }
}

void dfs2(int x,int to,int de)
{
    zh[x]=++ind;
    //back[ind]=x;
    deep[zh[x]]=de;
    top[zh[x]]=to;
    if (son[x])dfs2(son[x],to,de+1);
    for(int i=0;i<point[x].size();i++)
    {
        int y=point[x][i];
        if (y!=son[x])
          dfs2(y,ind+1,de+1);
    }
}


void update(int nl,int nr,int l,int r,int th)
{
    sum[th]=(sum[th]+r-l+1)%mod;
    if (nl==l && nr==r) add[th]++;
    else
    {
        int mid=(nl+nr)>>1;
        if (r<=mid) update(nl,mid,l,r,lth);
        else if (l>mid) update(mid+1,nr,l,r,rth);
        else
        {
            update(nl,mid,l,mid,lth);
            update(mid+1,nr,mid+1,r,rth);
        }
    }
}

int findsum(int nl,int nr,int l,int r,int th)
{
    if (nl==l && nr==r)return sum[th];
    else
    {
        int mid=(nl+nr)>>1;
        if (add[th])
        {
            add[lth]+=add[th];
            add[rth]+=add[th];
            sum[lth]=(sum[lth]+(mid-nl+1)*add[th])%mod;
            sum[rth]=(sum[rth]+(nr-mid)*add[th])%mod;
            add[th]=0;
        }
        if (r<=mid)return findsum(nl,mid,l,r,lth);
        else if (l>mid)return findsum(mid+1,nr,l,r,rth);
        else
        {
            int a=findsum(nl,mid,l,mid,lth);
            int b=findsum(mid+1,nr,mid+1,r,rth);
            return (a+b)%mod;
        }
    }
}

void addit(int x)
{
    x=zh[x];
    while(x)
    {
        update(1,n,top[x],x,1);
        x=fa[top[x]];
    }
}

int findit(int x)
{
    x=zh[x];
    int re=0;
    while (x)
    {
        re=(re+findsum(1,n,top[x],x,1))%mod;
        x=fa[top[x]];
    }
    return re;
}

void solve()
{
    lp(i,d)
    {
        if (q[i].y!=q[i-1].y) lpn(j,q[i-1].y+1,q[i].y) addit(j);
        int val=findit(q[i].x);
        (q[i].pos) ? ans[q[i].num]+=val : ans[q[i].num]-=val;
    }
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    input();
    dfs1(1);
    dfs2(1,1,1);
    lp(i,n)
     newfa[zh[i]]=zh[fa[i]];
    swap(fa,newfa);
    solve();
    lp(i,m)
      printf("%d\n",(ans[i]+mod)%mod);
    return 0;
}