剑指offer_41_和为S的连续正数序列

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探讨了如何找出所有连续正数序列的和为给定数值的方法，通过三种不同的算法实现：遍历穷举法、优化后的遍历方法以及滑动窗口法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!
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输出描述:
输出所有和为S的连续正数序列。序列内按照从小至大的顺序，序列间按照开始数字从小到大的顺序

遍历穷举法

01.找规律拆分，复杂度 $O(n^2)$

eg:100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 18+（18+1）+（18+2）+（18+3）+（18+4）= 18*5 + （1+2+3+4）

so，sum = i*j + j*(j-1)/2.

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> list = new ArrayList();
        for(int i=1; i<sum; i++){
            for(int j=1; j<sum; j++){//这层循环可否去掉呢？
                if(i*j+j*(j-1)/2==sum){
                    ArrayList<Integer> array = new ArrayList();
                    for(int k=0; k<j; k++){
                        array.add(i+k);
                    }
                    list.add(array);
                }
            }
        }
        return list;
    }
}

复杂度明显很高，大部分的遍历都是不必要的，那么可否简化呢？

02.时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$

利用等差数列求和公式 $sum=n*a_{0}+\frac{n*(n-1)}{2}$ ，找到序列长度n即可确定 $a_{0}$ .

利用S = (1 + n) * n / 2，得到 $n < \sqrt{2S}$ .将n取值范围缩小

n为奇数时，序列中间的数正好是序列的平均值，所以条件为：(n & 1) == 1 && sum % n == 0；

n为偶数时，序列中间两个数的平均值是序列的平均值，而这个平均值的小数部分为0.5，所以条件为：(sum % n) * 2 == n.

eg:假设输入sum = 100，我们只需遍历n = 13~2的情况。n = 8时，得到序列[9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]；n = 5时，得到序列[18, 19, 20, 21, 22]。

import java.lang.Math;
import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> list = new ArrayList();
        for (int n = (int)Math.sqrt(2*sum); n>=2 ;n--){
            if ((n&1) == 1 && sum%n == 0 || (sum%n)*2 == n){
                ArrayList<Integer> array = new ArrayList<Integer>();
                for (int j = 0, k = (sum / n) - (n - 1) / 2; j < n; j++, k++) {
                    array.add(k);
                }
                list.add(array);
            }
        }
        return list;
    }
}

滑动窗口法

时间复杂度降到了O(n)

思路：令初始区间为[1,2]，1+2<sum则扩大区间[1,2,3],1+2+3>sum则在左边去掉一个数[2,3].若sum=5，就这样找到了一组.即可打印[2,3]

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
        ArrayList<ArrayList<Integer>> list = new ArrayList();
        int startIndex = 1, endIndex = 2, curSum = 3, mid = sum / 2;
        while (endIndex < mid || startIndex < endIndex) {
            if (curSum == sum) {
                list.add (this.li(startIndex, endIndex));
            }
            endIndex ++;
            curSum += endIndex;
            while (curSum > sum) {
                curSum -= startIndex;
                startIndex ++;
            }
        }
        return list;
    }
    private ArrayList<Integer> li(int startIndex, int endIndex) {
        ArrayList<Integer> resList = new ArrayList();
        for (int i=startIndex; i<=endIndex; i++) {
            resList.add(i);
        }
        return resList;
    }
}