bzoj 2069 [ POI 2004 ] ZAW —— 多起点最短路 + 二进制划分

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Zinn/p/9489380.html

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本文探讨了在解决特定类型的最短路径问题时的一种优化策略，通过二进制划分起点和终点，避免了多次运行Dijkstra算法的效率瓶颈。特别地，文章详细介绍了如何在包含特定节点（如节点1）的图中，通过枚举和多起点最短路径算法来寻找全局最优解。

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2069

首先，对于和 1 相连的点，一定是从某个点出发，回到另一个点；

所以需要枚举起点和终点，但做 n 遍 dijkstra 不太可行；

可以进行多起点最短路，一次知道了以一些点作为起点、另一些点作为终点的答案；

于是问题是如何划分起点和终点，使一定能找到最优解；

二进制划分，枚举每一位，这一位是 0/1 分成两部分，那么任意不同的两个数一定某一次被分到了不同的集合；

具体做法可以是从 1 出发，不让起点回到 1，不让终点来到 1，最后看看终点的 dis；

也可以干脆去掉 1，起点的 dis 值是从 1 到它的距离；

注意分成两部分后要分别跑一遍是起点和终点的。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int const maxn=5005,maxm=20005,inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,hd[maxn],ct,to[maxm],nxt[maxm],w[maxm],dis[maxn],mx,ans=inf;
int son[maxn],ss,wt[maxn],wc[maxn];
bool vis[maxn],st[maxn],ed[maxn];
priority_queue<pair<int,int> >q;
void add(int x,int y,int z){to[++ct]=y; nxt[ct]=hd[x]; w[ct]=z; hd[x]=ct;}
void dijkstra()
{
    while(q.size())q.pop();
    memset(vis,0,sizeof vis);
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    dis[1]=0; q.push(make_pair(0,1));
//    for(int i=1,x;i<=ss;i++)
//        if(st[x=son[i]])dis[x]=wt[x],q.push(make_pair(-dis[x],x));
//    vis[1]=1;
    while(q.size())
    {
        int x=q.top().second; q.pop();
        if(vis[x])continue; vis[x]=1;
        for(int i=hd[x],u;i;i=nxt[i])
        {
            if(vis[u=to[i]]||st[x]&&u==1||x==1&&ed[u])continue;
//            if(vis[u=to[i]])continue;
            if(dis[u]>dis[x]+w[i])
                dis[u]=dis[x]+w[i],q.push(make_pair(-dis[u],u));
        }
    }
    for(int i=1,x;i<=ss;i++)
        if(ed[x=son[i]])ans=min(ans,dis[x]+wc[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int tmp=n; while(tmp)mx++,tmp/=2;
    for(int i=1,x,y,a,b;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&a,&b);
        add(x,y,a); add(y,x,b);
        if(x==1)son[++ss]=y,wt[y]=a,wc[y]=b;
        if(y==1)son[++ss]=x,wt[x]=b,wc[x]=a;
    }
    for(int i=0;i<mx;i++)
    {
        memset(st,0,sizeof st);
        memset(ed,0,sizeof ed);
        for(int j=1;j<=ss;j++)
            if(son[j]&(1<<i))st[son[j]]=1;
            else ed[son[j]]=1;
        dijkstra();
        for(int j=1,x;j<=ss;j++)
            if(st[x=son[j]])st[x]=0,ed[x]=1;
            else if(ed[x])ed[x]=0,st[x]=1;
        dijkstra();
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}