LOJ 6089 小Y的背包计数问题 —— 前缀和优化DP

最新推荐文章于 2022-07-29 14:55:32 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/Zinn/p/9670115.html

本文介绍了解决背包问题的一种动态规划方法，并通过前缀和优化来提高效率。针对体积受限的背包问题，使用两阶段DP策略，首先处理小物品，再考虑大物品的组合，最终求得所有可能的体积组合方案数。

题目：https://loj.ac/problem/6089

对于 i <= √n ，设 f[i][j] 表示前 i 种，体积为 j 的方案数，那么 f[i][j] = ∑(1 <= k <= i ) f[i-1][j - k*i]

可以用前缀和优化，因为第 i 次只会用到间隔为 i 的和；

对于 i > √n ，最多选 √n 个，所以设 g[i][j] 表示用 i 个，体积为 j 的方案数；

每种方案如果排一个序，就是一个最小值为 √n + 1 的不降序列，所以算出不降序列的个数也就知道了方案数；

要得到一个长度为 i 的这样的序列，可以通过两种操作从 i - 1 的序列得到，即新加一个 √n + 1，或整体 + 1；

二者合并起来就是答案；

调了一下午，就是因为 f[] 数组开成 √n 大小了？为什么没有段错误提示？？

会写前缀和优化DP啦...

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int const maxn=1e5+5,maxm=320,mod=23333333;
int n,f[maxn],g[maxm][maxn],s[maxn],t[maxn],ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);  int sq=sqrt(n);
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=sq;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)s[j]=(f[j]+(j>=i?s[j-i]:0))%mod;
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            f[j]=s[j];
            if(j>=(i+1)*i)f[j]=(f[j]-s[j-(i+1)*i]+mod)%mod;
        }
    }
    g[0][0]=1;
    ans=f[n];//
    for(int i=1;i<=sq;i++)
        for(int j=i*(sq+1);j<=n;j++)//i*
        {
            g[i][j]=(g[i-1][j-sq-1]+g[i][j-i])%mod;
            ans=(ans+(ll)g[i][j]*f[n-j]%mod)%mod;
        }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}