Bezier曲线原理

原理:
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。


线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。


二次方贝塞尔曲线
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。


三次方贝塞尔曲线
P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1，并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距，决定了曲线在转而趋进 P3 之前，走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：

现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。


一般化
P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即

例如 ：

如上公式可如下递归表达： 用表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则

用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有

即多项式

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P0并以 Pn 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。




图例:
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25时，B(t) 即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t，B(t) 描述一条由 P0 至 P1 的直线。





为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t：
由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。





为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构：

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构：