图论之拓扑排序

邻接表

邻接矩阵用二维数组即可存取,比较简单,但除完全图外,一般的图不是任意两个顶点都相邻接,因此邻接矩阵也有很多零元素,特别是当n 较大而边数相对完全图的边(n-1)又少得多时,邻接矩阵仍是很稀疏,这样浪费存储空间。

邻接表(Adjacency List)是图的一种顺序存储与链式存储结合的存储方法，类似于树的孩子链表表示法。由于它只考虑非零元素,因而节省了零元素所占的存储空间。它对于无向图和有向图都适用。

邻接表示法就是对于图G中的每个顶点放到一个数组中，数组的每个元素存放一个结点并指向一个单链表的指针。链表中存储着与该顶点相邻接的顶点所在的数组元素的下标。在邻接表表示中有两种结点结构，如图1所示。

     (a) 表头结点                                 (b) 边表结点

                       图1.邻接矩阵表示的结点结构

在邻接表中，对图中每个顶点建立一个单链表。单链表有一个表头结点，表头结点的结构为图1（a）所示。其中，vertex域存放图中某个顶点vi 的信息，link为指针，指向对应单链表中的结点。

单链表中的结点称为边表结点，边表结点结构如图1（b）所示。其中，adjvex域存放与顶点vi相邻接的顶点在二维数组中的序号，next域为指针，指向与顶点vi相邻接的下一个顶点的边表结点。

下图2给出无向图对应的邻接表表示。如果是有向图, 则只计算表头节点的出度顶点。

                       图2.邻接表表示

拓扑排序

拓扑排序是对有向无环图的一种排序。表示了顶点按边的方向出现的先后顺序。如果有环，则无法表示两个顶点的先后顺序。

通常我们把计划、施工过程、生产流程、程序流程等都当成一个工程，一个大的工程常常被划分成许多较小的子工程，这些子工程称为活动。这些活动完成时，整个工程也就完成了。

我们用一种有向图来表示这些工程、计划等，在这种有向图中，顶点表示活动，有向边表示活动的优先关系，这种用顶点表示活动，用弧来表示活动间的优先关系的有向图叫做顶点表示活动的网络(Actire On Vertices)简称为AOV网。

拓扑排序:

假设G=(V，E)是一个具有n 个顶点的有向图，V中顶点序列vl，v2，…，vn 称做一个拓扑序列(Topological Order)，当且仅当该顶点序列满足下列条件：若在有向图G中存在从顶点vi 到vj 的一条路径，则在顶点序列中顶点vi 必须排在顶点vj 之前。通常，在AOV网中，将所有活动排列成一个拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological Sort)。

在AOV网中不应该出现有向环。因为环的存在意味着某项活动将以自己为先决条件，显然无法形成拓扑序列。

判定网中是否存在环的方法：对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都出现在它的拓扑有序序列中，则该AOV网中一定不存在环。

拓扑排序的算法思想:

输入AOV网络。令 n 为顶点个数。      

（1）在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点，并输出之；

（2）从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边；

重复以上步骤，直到全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；或图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在环。

                        图3.有向图(无环)

转载自: http://www.cnblogs.com/bigrabbit/archive/2012/09/15/2685970.html