移动最小二乘法在点云平滑和重采样中的应用

导言

这篇博客的目的是介绍移动最小二乘法（moving least squares）在点云平滑和重采样的应用。开头先简要介绍最小二乘法，用两种不同的方法来求解最小二乘法，并给出一个具体的算例、代码、数据。目前关于最小二乘法的博客和网上的讨论有很多，我没必要重复做这个工作（其实是我太菜不能形象的讲出来哈），我想做的是提供一个简要的概括，以及给出一个具体的例子帮助读者理解。接下来，介绍加权最小二乘法，在同样的数据上面，跑加权最小二乘法，看看拟合的结果又如何。之后，简略分析一下PCL是如何实现的点云平滑和重采样。参考的文献列在最后，比较有价值的是[1][2]，基本上是看这两个理解的移动最小二乘法。由于我学力尚浅，自知这篇文章有很多的不足、错误，希望读者不吝指出。欢迎理性的讨论和交流。

最小二乘法

对于方程组\(A\mathbf{x}=b\)，我们要去寻找一个\(Ax'\)最佳逼近b，即有
\[|b - Ax'| \le |b - Ax|\]
抽象点说，在\(A\)的列空间中找到最逼近b的那个点。

使用投影的方法来求解

将向量\(b\)投影到\(A\)的列空间得到\(b'\)，\((b - b')\)是正交于A的列空间，即有
\[A^T*(b - Ax') = 0\]
如果\((A^T*A)\)可逆：
\[x' = (A^T*A)^{-1}*A^T*b\