扩展欧几里得算法的笔记

       扩展欧几里得算法又称碾转相除法或者欧几里得算法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

理解欧几里得算法，首先看一个定义：a和b的最大公约数g是a和b的线性和中（绝对值）最小的一个，即所有形如xa + yb（其中x和y是整数）的数中（绝对值）最小的数。

计算过程

    辗转相除法是一种递归算法，每一步计算的输出值就是下一步计算时的输入值。设k表示步骤数（从0开始计数），算法的计算过程如下。

每一步的输入是都是前两次计算的余数r_k−1和r_k−2。因为每一步计算出的余数都在不断减小，所以，r_k−1小于r_k−2。在第k步中，算法计算出满足以下等式的商q_k和余数r_k：

r_k−2 = q_k r_k−1 + r_k

其中r_k < r_k−1。也就是r_k−2要不断减去r_k−1直到比r_k−1小。

在第一步计算时（k = 0），设r₋₂和r₋₁分别等于a和b，第2步（此时k = 1）时计算r₋₁（即b）和r₀（第一步计算产生的余数）相除产生的商和余数，以此类推。整个算法可以用如下等式表示：

a = q₀ b + r₀

b = q₁ r₀ + r₁

r₀ = q₂ r₁ + r₂

r₁ = q₃ r₂ + r₃

…

如果输入参因为a < b，所以a和b相除得到的商q₀等于0，余数r₀等于a。所以在运算的每一步中得出的余数一定小于上一步计算的余数（r_k一定小于r_k−1）。

由于每一步的余数都在减小并且不为负数，必然存在第N步时r_N等于0，使算法终止，r_N−1 就是a和b的最大公约数。其中N不可能无穷大，因为在r₀和0之间只有有限个自然数。

证明

辗转相除法的正确性可以用两步来证明。首先，算法的最终结果r_N−1同时整除a和b。因为它是一个公约数，所以必然小于或者等于最大公约数g。然后，任何a和b的公约数都能整除r_N−1。所以g一定小于或等于r_N−1。两个不等式只在r_N−1 = g是同时成立。具体证明如下：

1. 证明r_N−1同时整除a和b：

   因为余数r_N是0，r_N−1能够整除r_N−2：

   r_N−2 = q_N r_N−1

   因为r_N−1能够整除r_N−2，所以也能够整除r_N−3：

   r_N−3 = q_N−1 r_N−2 + r_N−1

   同理可证r_N−1可以整除所有之前步骤的余数，包括a和b，即r_N−1是a和b的公约数，r_N−1 ≤ g。

2. 证明任何整除a和b的自然数g（也就是a和b的公约数）都能整除r_N-1：

   根据定义，a和b可以写成g的倍数：a = mg、b = ng，其中m和n是自然数。因为r₀ = a − q₀b = mg − q₀ng = (m − q₀n)g，所以g整除r₀。同理可证g整除每个余数r₁、r₂……r_N-1。所以，最大公约数g一定整除r_N−1，因而g ≤ r_N−1。

因为第一步的证明告诉我们r_N−1 ≤ g，所以g = r_N−1。即：

g = GCD(a, b) = GCD(b, r₀) = GCD(r₀, r₁) = … = GCD(r_N−2, r_N−1) = r_N−1

例子

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

47=30*1+17

30=17*1+13

17=13*1+4

13=4*3+1

然后把它们改写成“余数等于”的形式

17=47*1+30*(-1) //式1

13=30*1+17*(-1) //式2

4=17*1+13*(-1) //式3

1=13*1+4*(-3)

然后把它们“倒回去”

1=13*1+4*(-3) //应用式3

1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)

1=13*4+17*(-3) //应用式2

1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)

1=30*4+17*(-7) //应用式1

1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)

1=30*11+47*(-7)

得解x=-7, y=11。

这个方法就是扩展欧几里德算法。

        对于a*x+b*y=c；只要看c是不是a和b的公约数或者公约数的整数倍，就可以得出x和y有没有整数解。

JAVA实现

    

 int gcd（int a,int b）

 {

	return b==0?a:gcd(b,a%b);

 }