（四）计算-计算的诞生-莱布尼茨的计算之梦

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🧠 莱布尼茨的计算之梦

莱布尼茨的历史背景

莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是 17 世纪德国著名的数学家、哲学家和逻辑学家。他不仅与牛顿共同发明了微积分，还在数理逻辑领域做出了开创性贡献，被誉为数理逻辑之父。莱布尼茨的梦想是通过数学化的逻辑推理，构建一种普遍语言，从而实现人类思想的精确计算。

数理逻辑的创立

莱布尼茨继承了亚里士多德的古典形式逻辑，并进一步发展了逻辑理论。他最大的贡献在于用数学化的思想处理逻辑问题，开创了数理逻辑（符号逻辑）。莱布尼茨认为，逻辑推理可以通过符号和数学运算来实现，这一思想为现代计算机的诞生奠定了基础。

莱布尼茨的逻辑学贡献

符号逻辑：莱布尼茨用数学符号代替传统逻辑中的语言和文字，使逻辑推理像数学运算一样精确。
三段论的扩展：莱布尼茨将亚里士多德的三段论从 3 个格 14 个有效式扩展到 4 个格 24 个有效式，并建立了公理化演绎系统。
特征数：莱布尼茨提出用数字编码来表示概念，这一思想启发了后来的哥德尔数。

人类思想字母表

莱布尼茨提出了一种人类思想字母表，旨在用符号和数字表达所有概念和思想。他认为，通过这种字母表，不同语言和文化的人们可以相互交流思想，解决争端。

特征数的应用

莱布尼茨在《对逻辑演算的两个研究》中提出，每个词项都可以用特征数表示。例如，如果“动物”的特征数是

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a=2，“理性”的特征数是

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r=3，那么“人”的特征数就是

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h=a⋅r=6。这种编码思想为后来的逻辑演算奠定了基础。

思想的大衍术

莱布尼茨称他的逻辑思想为思想的大衍术（Ars Magna），旨在用组合和推演的方法揭示宇宙的奥秘。他提到，二进制可以用来表示无限的事物，这一思想与中国的阴阳八卦不谋而合。

二进制的发明

莱布尼茨在 1679 年发明了二进制，并在 1703 年公开发表了这一成果。他发现二进制与中国古代的伏羲图惊人地一致，进一步坚定了他的信心。尽管莱布尼茨的计算器使用的是十进制，但二进制的思想为现代电子计算机的发展奠定了基础。

计算之梦

莱布尼茨的梦想是通过符号和逻辑演算，实现人类思想的精确计算。他认为，这种计算可以用于真理的判断和从已知数据中发现新的真理。莱布尼茨的这一思想直接影响了后来的布尔、弗雷格和罗素等人，推动了数理逻辑的发展。

莱布尼茨的影响

布尔代数：乔治・布尔在莱布尼茨的基础上，提出了逻辑代数，为现代计算机的逻辑电路设计提供了理论基础。
罗素的贡献：罗素与怀特海合著的《数学原理》被视为莱布尼茨逻辑系统的完成，奠定了现代数理逻辑的基础。

19 世纪数理逻辑的复兴

莱布尼茨的计算之梦在 19 世纪迎来了复兴。德・摩根、乔治・布尔等人进一步发展了数理逻辑，使其成为一门独立的学科。

布尔的逻辑代数

乔治・布尔在《逻辑的数学分析》中提出了逻辑代数，将逻辑推理转化为数学运算。这一理论为现代计算机的逻辑设计提供了重要工具。

通过莱布尼茨的贡献，数理逻辑从古典逻辑中脱颖而出，成为现代计算机科学的基石。莱布尼茨的计算之梦至今仍在激励着科学家们不断探索。

🧠 布尔的逻辑代数与形式主义

布尔的思想与贡献

"布尔继承了莱布尼茨的梦想，并给出了莱布尼茨未完成的逻辑演算系统的一个具体实现，即逻辑推理规则可以由符号形式来表达，这可以使逻辑更严格并促进其应用。"

布尔代数：布尔创造了一个新的数学分支，即布尔代数。他通过代数方法驱动逻辑，达到严格性和高效性。
逻辑演算：布尔是第一个将代数应用到逻辑中的人，他的工作是逻辑和代数的交汇点。
历史影响：从罗素、希尔伯特的理论，到丘奇、图灵对计算概念的数学精确定义，都追溯到布尔的思想启蒙。

布尔代数的基本运算

布尔代数基于三个基本运算：AND（与）、OR（或）、NOT（非）。

AND（与）

定义：给定两个类
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x 和
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y，
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x AND
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y 表示由
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x 和
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y 的所有公共元素构成的集合。
符号化：布尔将
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x AND
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y 表示为
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xy，称为逻辑积。
性质：
- KaTeX can only parse string typed expression
  xx=x 或
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  x2=x
- 推广后，
  KaTeX can only parse string typed expression
  xn=x，其中
  KaTeX can only parse string typed expression
  n 为自然数
- 乘法满足交换律：
  KaTeX can only parse string typed expression
  xy=yx

OR（或）

定义：
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x OR
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y 表示由属于
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x 或属于
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y 的对象构成的集合。
符号化：
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x+y
性质：
- 支持结合律：
  KaTeX can only parse string typed expression
  z(x+y)=zx+zy

NOT（非）

定义：
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x 相对于全类 1 的补运算，表示为
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1−x。
意义：
KaTeX can only parse string typed expression
x 的补就是其分子属于全类但不属于
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x 的事物类。

布尔代数的基本原理

布尔代数基于以下 9 条公式：

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& (一) xy=yx& (二) x+y=y+x& (三) x(y+z)=xy+xz& (四) x(y−z)=xy−xz& (五) 如果 x=y, 则 xz=yz& (六) 如果 x=y, 则 x+z=y+z& (七) 如果 x=y, 则 x−z=y−z& (八) x(1−x)=0& (九) xx=x 或 x2=x, 一般而言, xn=x

前 7 条：普通数字代数的规则。
第八条：矛盾律，可由指数律推出。
第九条：指数律，布尔代数特有的性质。

布尔代数的解释与应用

类的解释

布尔代数可以用于表示类的逻辑关系。例如：

所有
KaTeX can only parse string typed expression
x 都属于
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y：
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(xy=y)
有一些
KaTeX can only parse string typed expression
x 属于
KaTeX can only parse string typed expression
y：
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(v=xy)
所有
KaTeX can only parse string typed expression
x 都不属于
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y：
KaTeX can only parse string typed expression
(xy=0)
有一些
KaTeX can only parse string typed expression
x 不属于
KaTeX can only parse string typed expression
y：
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(v=x(1−y))

二值解释

布尔代数可以通过二进制进行运算，其中

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x 和

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y 仅取 1 或 0 为值。

真值表：
- KaTeX can only parse string typed expression
  1×1=1
- KaTeX can only parse string typed expression
  1×0=0
- KaTeX can only parse string typed expression
  0×1=0
- KaTeX can only parse string typed expression
  0×0=0