（一）计算-导论

导论

1936年5月28日，阿兰・麦席森・图灵决定发表论文《论可计算数及其在判定性问题中的应用》，标志着计算理论的重要里程碑。计算已成为现代社会不可或缺的核心技术，从个人电脑到火箭发射，背后都依赖于计算。计算机的普及使得当前时代的计算密度远超人类历史上各个阶段的总和。计算机发明前的5000多年，人类总共计算了不超过 

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1016 次，而今天，人类每秒的计算次数都远超这个数字。

计算机的起源

计算机是计算的机器，电子计算机是20世纪最伟大的发明之一。古代的计算工具如中国的算筹和算盘，以及17世纪的机械式计算器，都未能大规模替代人力计算。直到20世纪40年代，电子计算机的出现彻底改变了历史，凭借逻辑电路设计和电流的速度，计算效率提升了数百亿倍。

计算的重要性

计算已融入人类社会的所有活动，成为现代社会的基础设施。理解计算的原理、学会使用计算机，是当代人必备的技能。计算的世界观帮助我们看清可能与不可能的边界，感知风险、发现机遇，并找到未来的方向。

计算的三个根本问题

在探索计算的道路上，可以归结为以下三个根本问题：

1. 计算的原理是什么？
2. 计算的技术如何实现？
3. 计算将对世界产生什么影响？

这些问题涉及21世纪最重要的概念——计算。本书旨在回答第一个问题，即计算的原理是什么。

不同人对计算的理解

• 普通人：计算是加减乘除，类似于买菜时的算钱。
• 程序员：计算是芯片执行指令的过程。
• 信息产业从业者：计算是提供算力的机器和操作系统。
• 计算机科学家：计算是图灵机所描述的严格数学定义。
• 哲学家：计算可以是生物的进化、宇宙的奥秘。

这些理解各有侧重，但历史上计算是数学的价值放大器，计算对社会的应用价值就是数学对社会的应用价值。

计算与数学

早期的计算

从古埃及和古巴比伦开始，人类就通过数字符号进行测量和计数。古希腊时期，亚里士多德和欧几里得将数学建立在逻辑与几何的基础之上，数学成为人类认知世界的主要工具。中世纪欧洲的数学发展停滞，而东方则发展出了实用的计算技术，阿拉伯世界将代数学传入欧洲。

数学的严格化

17世纪牛顿和莱布尼茨发明微积分，但无穷小的概念引发了第二次数学危机。19世纪柯西的极限理论驯服了无穷小，魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔精确定义了无理数，康托尔创立了集合论，皮亚诺建立了自然数的公理系统，数学的基础得以严格化。

计算与逻辑

莱布尼茨的梦想

17世纪莱布尼茨提出了逻辑演算和普遍符号语言的想法，希望通过符号演算断定真理。19世纪布尔代数将逻辑与代数结合，成为计算机的基础。弗雷格、皮亚诺、怀特海和罗素推动了数理逻辑的发展，但第三次数学危机动摇了数学的基础。

罗素悖论

罗素提出的悖论动摇了集合论的基础，数学陷入空前的危机。为了重建数学基础，出现了逻辑主义、直觉主义、形式主义和公理化系统等流派。希尔伯特的形式系统试图通过公理化解决数学基础的不稳固问题。

数学危机的解决

希尔伯特的形式系统

希尔伯特提出了公理化系统的独立性、一致性、完备性和可判定性，试图通过元数学证明理想数学的相容性。希尔伯特的构想为数学提供了一个坚固的基础，但哥德尔的不完备性定理表明，任何足够强大的公理系统都无法同时满足一致性和完备性。

哥德尔的不完备性定理

哥德尔证明了任何包含算术的形式系统，如果是一致的，则必然存在不可判定的命题。这一发现彻底改变了数学的基础，表明数学的真理无法完全通过形式系统捕捉。

计算的边界

可计算性理论

20世纪30年代，丘奇、图灵、哥德尔等人精确定义了计算的概念，图灵机成为现代计算机的理论基础。计算的能力边界在数理逻辑中已经讲得很清楚，计算机有其能力边界，许多问题是计算机永远无法解决的。

现代计算理论

计算复杂性、复杂系统、量子计算和人工智能是现代计算理论的最新成果。计算的能力边界涉及计算复杂性、量子计算和人工智能的潜力，这些问题仍在探索中。

总结

计算伴随着数学与哲学而诞生，经历了数千年的发展，最终在20世纪通过电子计算机的发明实现了飞跃。理解计算的原理、技术及其对世界的影响，是当代人必备的知识。计算的能力边界在数理逻辑中已经明确，但现代计算理论仍在不断拓展这一边界。

🧮 哥德尔不完备性定理与数学危机

"哥德尔的不完备性定理彻底改变了数学的基础，揭示了形式系统的局限性。"

哥德尔不完备性定理

哥德尔不完备性定理的核心内容是：
一个包含初等算术的希尔伯特形式系统既不完备，也无法从系统内部证明自身的一致性。

证明方法

1. 哥德尔编码：将形式系统中的语句编码为自然数（哥德尔数）。
2. 对角线方法：构造一个自指的命题，即“这个命题不可证明”。
3. 归谬法：假设该命题可证明，则会导致矛盾，从而证明其不可证。

影响

• 哥德尔的工作启发了丘奇和图灵，他们进一步证明了希尔伯特的判定性问题（Entscheidungsproblem）的答案也是否定的。
• 希尔伯特的宏伟计划因此破产，但形式系统的性质被深入研究，形成了完善的理论。

💻 什么是可计算的

图灵在20世纪30年代尝试解决希尔伯特的判定性问题。希尔伯特的形式系统基于公理化方法，试图剥离数学符号的意义，仅保留符号之间的变换规则。

图灵机与形式系统的关系

• 图灵机的定义与希尔伯特的形式系统高度相关。
• 图灵用图灵机实现了希尔伯特形式系统的一阶谓词逻辑，并进一步实现了初等算术的加法和乘法。
• 研究希尔伯特形式系统的性质，等同于研究图灵机的本质，进而研究计算机的理论本质。

图灵机的定义

• 图灵机由一条无限长的纸带和一个读/写头组成，通过机械操作完成计算过程。
• 通用图灵机：可以模拟其他图灵机，意味着可编程性。现代计算机都是通用图灵机。

可计算性理论

• 丘奇-图灵论题：图灵机、

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  λ演算和一般递归函数在计算能力上是等价的。
• 可计算函数：如果一个函数是图灵机可计算的，则称之为可计算函数。

现代计算机的局限性

• 图灵机在包含初等算术的情况下也是不完备的，无法证明自身的一致性。
• 现代计算机建立在可计算性理论的基础上，因此受到同样的理论约束。

🔍 计算复杂性理论

计算复杂性理论研究的是：如果一个问题是可计算的，那么需要多少次计算才能得出结果。

P 类问题与 NP 类问题

• P 类问题：图灵机能在多项式时间内求解的问题。
• NP 类问题：图灵机能在多项式时间内判定结果的问题。
• NP 完全问题：所有 NP 问题中最难的问题，任何 NP 问题都可以归约到 NP 完全问题上。

P 是否等于 NP

• 这是“千禧年七大数学问题”之一，尚未解决。
• 许多著名的优化问题（如旅行商问题）属于 NP 完全问题。

🧩 公理化集合论

公理化集合论是解决第三次数学危机的第四大流派，以策梅洛为代表。

策梅洛-弗兰克尔公理系统（ZFC）

• 由10条公理组成，其中 AC 为选择公理。
• ZFC 公理系统可以推导出自然数和初等数论，是当今数学的重要基础。

ZFC 的局限性

• 根据哥德尔不完备性定理，ZFC 的一致性无法在系统内证明。
• 连续统假设和选择公理是独立于 ZFC 的，属于不可证命题。

数学的未来

• 新的公理被加入后，数学家们创造出各种各样的数学系统，其中一些公理互相矛盾。
• 数学基础并未收敛，反而越来越发散。

🤔 数学是发明还是发现

数学的本体论问题：数学是发明还是发现？

两种观点

1. 柏拉图主义：数学是发现，存在一个理想的数学世界。
2. 亚里士多德主义：数学是发明，数学概念是实体属性的抽象。

数学历史的启示

• 微积分理论被认为是“发明”的，因为它在1650年之前并不存在。
• 康托尔的超穷数理论是“发明”，而康托尔定理是“发现”。

公理的作用

• 公理确定后，系统内的信息是隐性的，需要挖掘。
• 修改公理带来实质上的内涵改变，被视为发明；挖掘公理内的信息被视为发现。

∞ 无穷的本质

无穷的本质是数学和物理中的一个核心问题。

潜无穷与实无穷

• 潜无穷：一个永无止境的过程（如自然数的列举）。
• 实无穷：将无穷看作一个具体存在的对象。

历史发展

• 牛顿和莱布尼茨在微积分中使用无穷小量，引发第二次数学危机。
• 康托尔在集合论中深入研究实无穷，提出无穷集合的序数和基数概念。

现代计算机与无穷

• 现代计算机在物理实现上是有穷的，处理无理数时以精度概念截断无穷位。

🤖 机器能思考吗

机器能思考吗是一个与计算边界相关的哲学问题。

图灵信念

• 图灵认为，如果大脑的思维过程可以用“有效计算过程”解释，那么图灵机可以模拟大脑。
• 图灵测试：通过模仿游戏检验机器智能。

哥德尔信念

• 哥德尔认为，机器的计算永远无法达到人的思维程度，因为存在机器无法判断的命题。
• 哥德尔和彭罗斯认为，人的思维过程是连续的，而非离散的。

两大阵营

• 图灵信念：支持机器可以模拟人类思维。
• 哥德尔信念：认为机器无法达到人类思维的高度。

🧠 机器智能与人类大脑

"构造的实用数学，必然会得出机器无法诞生出与人类大脑同等智能的结论。"

哥德尔信念与批评

• 哥德尔信念：基于不完备性定理，认为机器无法达到与人类大脑同等的智能水平。
• 批评观点：人类大脑未必是一致的，经常陷入自我矛盾，因此不完备性定理未必适用。
• 当前共识：大多数计算机科学家相信机器可以达到与人类大脑同等的智能水平，属于图灵信念阵营。

机器自我意识

• 流行观点：意识可能是人类的一种幻觉，机器完全有可能诞生自我意识。
• 现代脑科学：如 "全脑信息工作站" 模型，为意识提供了一些解释，但这一领域仍非常前沿。
• 机器文明：一旦机器能够涌现出自我意识，人类将进入机器文明的新纪元。

🌐 复杂网络与人工智能

深度学习的胜利

• 第三次浪潮：以深度学习为代表的连接主义在人工智能领域取得了胜利。
• 可解释性问题：深度神经网络得出了结果，但难以解释原因。

复杂网络

• 网络类型：大脑的神经网络、交通网络、社交网络、经济网络等。
• 共性：微观的神经网络和宏观的社会网络都缺乏可解释性。
• 复杂性科学：20 世纪 80 年代兴起，试图解释宏观复杂现象的形成机制和原理。

牛顿宇宙观的失效

• 还原论失效：宏观现象无法通过因果还原到微观元素。
• 新科学方法：需要全新的科学研究方法来解释大脑的智能和意识。

🌌 宇宙是台计算机吗

量子理论与离散世界

• 普朗克长度：

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  1.6×10−35 米，物质的最小尺度。
• 离散性：现代量子理论解释的世界是离散的，而非连续的。
• 无穷的本质：比普朗克长度更小的是什么？这是 "世界是离散还是连续" 的终极问题。

数学与物理的关系

• 伽利略：大自然是用数学语言书写的。
• 爱因斯坦：世界最不能理解的地方，就是它竟然是可以被理解的。
• 数学与物理的巧合：为何微观粒子可以用初等算术来描述？

宇宙的可计算性

• 图灵机与宇宙：如果世界是离散的，且满足初等算术的条件，那么宇宙是一台图灵机。
• 哥德尔不完备性定理：宇宙要么是不完备的，要么是不一致的。

丘奇-图灵论题

• 物理形式：1978 年罗宾・甘迪证明了丘奇-图灵论题的物理形式。
• 计算等价性：不同计算系统的计算能力是等价的，都等价于图灵机的计算能力。
• 人脑与宇宙：如果人脑是一台图灵机，宇宙也是一台图灵机，那么它们的计算能力是等价的。

🧮 计算主义

计算的等价性与通用性

• 图灵机、

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  λ 演算与一般递归函数：在计算上是等价的。
• 计算的定义：通过算术关系来模拟自然界的事物。

计算机的模拟能力

• 模拟自然过程：淘宝的在线购物、Facebook 的社交网络、谷歌的搜索都是对现实过程的模拟。
• 创造与计算：计算不仅可以用于人脑思维和心理活动过程中产生的创造，也可以用于大自然的创造。

生命游戏与元胞自动机

• 生命游戏：约翰・康威教授基于元胞自动机的思想，用简单的初始规则模拟生命的演化。
• 元胞自动机与图灵机：所有图灵机可计算的事物元胞自动机也都能计算。

计算主义的观点

• 计算主义：相信丘奇-图灵论题，进一步相信大脑乃至宇宙是一台计算机。
• 世界的底层规律：蕴含在计算的原理中，如何洞察万物的模式和结构，找到一个高效算法来模拟和驱动，是关键。

"计算的奥秘，就是世界的奥秘。"