（二）计算-计算的诞生-毕达哥拉斯的困惑

原创于 2025-08-07 18:50:38 发布 · 715 阅读

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🧮 毕达哥拉斯的困惑

数的计算

数的诞生

人类对数的最早认知可能源于动物的原始数觉，并非人类独有。
例如，鸟类能分辨物体的数量，但对较小的数量变化（如从4个卵减少到3个）比较敏感。

乌鸦的故事

乌鸦被捕的故事展示了动物如何利用数量感知来保护自己。

农庄主通过让人离开混淆乌鸦的数觉，最终成功捕获乌鸦。

原始数觉与人类的比较

在一些原始部落中，人数的识别能力非常有限。
人类的数觉与其他动物相比并不优越，某些部落只认知一、二和“多”。

原始数觉的形成

时间与空间的感知被认为是数觉的起源。
早期人类通过观察自然界形成了对数的感觉。

具体到抽象的演变

早期人类用具体的事物（如鸟的翅膀、苜蓿叶等）来代表数字。
通过对应法则，人们能直接判断数量的多与少。

基数与序数

基数是指用于表示集合大小的数。
序数则是用于表示集合中各元素位置的数。
通过将基数进行排序，人类发明了自然序列：
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1,2,3,⋯。

计数的出现

计数的重要性与火的发现相提并论。

人类的灵活手指促进了屈指计数的出现。
石子计数和结绳与刹痕计数是更进一步的计数方法。

文明古国的计算

古埃及与古巴比伦的计算

古埃及的莱茵德纸草书和莫斯科纸草书记录了早期的数学问题。
古埃及人使用加法和逐次加倍的方法进行乘法。

美索不达米亚的计算方法

美索不达米亚人发明了更复杂的计算方法，解决了线性方程和更高次方程。
他们使用六十进制的命数法，因其具有众多因数，简化了计算。

算法的雏形

美索不达米亚人提出了递归算法的概念来求解近似值。
例：求正数
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a 的平方根的递归过程为：

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输出值=21(输入值+输入值a)

毕达哥拉斯学派的影响

泰勒斯与毕达哥拉斯

泰勒斯是古希腊的早期数学家，他提出了几何学的一些重要定理。
毕达哥拉斯学派继承并发展了这些理论，认为万物皆由“数”构成。

数的具体认知

毕达哥拉斯学派通过小石子观察数的规律，发现了形数的概念。
他们认为数是组成物质的最小单元，并几乎不承认0的存在。

数的形数

形数的定义

形数是通过特定排列形成的数字，如三角形数、正方形数等。
例：
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1,3,6,10等数字形成三角形数。

形数类型	数值
三角形数	KaTeX can only parse string typed expression 1,3,6,10
正方形数	KaTeX can only parse string typed expression 1,4,9,16
五边形数	KaTeX can only parse string typed expression 1,5,12,22

🟡 三角形数与平方数的关系

三角形数的定义

三角形数是可以用小石子摆成正三角形的数，定义为：

第一类三角形数：
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Tn=2n(n+1)

三角形数与平方数的关系

当每个三角形数乘以 8 并加 1 时，结果是一个奇数的平方数。具体计算如下：

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&1×8+1=9(这是 32)&3×8+1=25(这是 52)&6×8+1=49(这是 72)&10×8+1=81(这是 92)

正方形数与三角形数的关系

正方形数可以表示为两个相继的三角形数之和，形象地用小石子摆放可以直观理解。

毕达哥拉斯学派的贡献

毕达哥拉斯学派通过观察总结出一些规律，形成了能计算任意形数的公式，发展了数学归纳法。

重要定理

包含 1 的任意个相继奇数之和都是完全平方数。

奇数递增序列：

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1,3,5,7,⋯

数与数之间的关系

毕达哥拉斯学派区分了数的抽象关系和用数进行计算的实用技能：

算术（arithmetic）：对数的抽象关系的研究。
算术计算术（logistic）：用数进行计算的实用技能。

亲和数的发现

亲和数是指一对数，其中一个数是另一个数的所有真因子之和。例如：

284 的真因子：
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1,2,4,71,142，其和为 220。
220 的真因子：
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1,2,4,5,10,20,22,44,55,110，其和为 284。

亲和数的历史

17296 和 18416 是中世纪发现的一对亲和数。
费马于 1636 年重新发现亲和数，之后又有笛卡尔和欧拉的发现。

完全数的定义

完全数：一个数等于其真因子之和。
不足数：一个数大于其真因子之和。
过剩数：一个数小于其真因子之和。

例子

6 是完全数，因为
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1+2+3=6。

毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。形式化表达为：

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a2+b2=c2

证明方法

通过图示和等量减等量余量相等公理，可以得出该定理的证明。

毕达哥拉斯数

毕达哥拉斯数是满足毕达哥拉斯定理的整数。例如：

3, 4, 5 是一组毕达哥拉斯数。
8, 15, 17 也是一组毕达哥拉斯数。

计算方法

毕达哥拉斯学派发现计算毕达哥拉斯数的公式为：

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m2+(2m2−1)2=(2m2+1)2

其中，

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m 为奇数。

数的和谐性

毕达哥拉斯学派认为数与和谐有密切关系，认为宇宙万物都有一种和谐的结构，数学和音乐之间的关系尤为明显。

音乐中的和谐

音乐的和弦效果源于弦的长度比，产生和谐音，数字 8 被视为和谐的代表。

柏拉图的理念

柏拉图认为感官接触的世界是不真实的，真实的世界由理念构成，数学对象是独立于物质的存在。

数学与理念

数学的研究对象是理念，而非具体事物。数学通过理念的理解达到更高的认知。

结论

毕达哥拉斯学派的思想和柏拉图的理念为后来的数学发展奠定了基础，强调了数学在理解世界中的重要性。

📐 数学与哲学的交汇

📜 经验主义与理念世界

"这种思想是经验主义的种子。"

欧几里得与柏拉图

欧几里得的原理：在两点之间做一条直线。
柏拉图的观点：真实的直线只存在于理念世界中。
亚里士多德的理解：允许从字面理解该原理，数学是研究“量”与结构的科学。

数学的哲学对立

哲学家	观点
柏拉图	数学是发现，理念是真理。
亚里士多德	数学是人类的发明，数学真理是有条件的。

🚨 第一次数学危机

无理数的发现

毕达哥拉斯学派：认为万物皆数，追求和谐，将任何量看作整数之比。
意外情况：正方形的对角线和其边是不可通约的，以边长为1的等腰直角三角形为例，其弦的长度为无理数
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2。

希帕索斯的故事

希帕索斯：发现无理数
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2 的存在，因拒绝否认而遭到同学们的惩罚，被抛入海中。
数学信仰的恐慌：古希腊人面对无理数的存在感到恐慌，认为这违反了和谐的自然规律。

无理数的证明

证明过程：假设弦是可通约的，设其为
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nm，则由毕达哥拉斯定理得出矛盾。
归谬法证明：

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(m/n)2=12+12=2⟹m2=2n2

结论：无理数
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2 的存在是不可避免的。

🔄 从算术到几何的转变

几何的兴起：古希腊人开始用几何思想处理不可通约量，避免算术的尴尬。
欧多克索斯的贡献：定义了对不可通约量的比较，奠定了后世对无理数的理解。

🌀 芝诺悖论：无穷之辩

芝诺的四个悖论

二分法：运动的过程要求无穷次的分割，认为运动不存在。
阿喀琉斯与乌龟：阿喀琉斯追不上乌龟，因为他必须先到达乌龟的起点。
飞矢不动：飞行的箭在每个时空都是静止的。
运动场：两排物体相向运动，认为一半时间和全部时间相等。

亚里士多德的反驳

反驳原则：运动是可以在有限时间内完成的；时间与空间的无穷分割可以在有穷时间内进行。

🧩 演绎推理：逻辑学与几何学

亚里士多德的逻辑学

逻辑之父：开创了形式逻辑，引入了三段论和公理化方法。
三段论：建立了逻辑推理的系统，成为数学和计算的基础。

欧几里得的《几何原本》

几何学的总结：流传至今的经典著作，奠定了现代几何学的基础。

✨ 数学危机的影响

哲学与数学的互动：第一次数学危机推动了逻辑学和几何学的发展。
对后世的启示：无理数的概念和芝诺悖论的探讨持续影响着数学与哲学的交汇。

🧠 三段论与逻辑推理

"三段论是一个包含大前提、小前提和结论三个部分的论证，亚里士多德通过三段论系统化地提出了形式逻辑。"

三段论的基本结构

三段论由三个部分组成：

部分	内容
大前提	所有的人都会死。
小前提	苏格拉底是人。
结论	所以苏格拉底会死。

三段论的格与式

亚里士多德在《前分析篇》中详细介绍了三段论的格和式：

格：三段论有三种格——第一格（完善的格）、第二格和第三格。
正确式：在第一格中，亚里士多德指出了四个正确的式：AAA、EAE、AII、EIO。

第一格的示例

以AAA式为例：

"如果A被断言于一切B，B又被断言于一切

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Γ，则A一定被断言于一切
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Γ。"

公理化方法

亚里士多德通过“公理化”方法来解决推理中的问题：

始理：作为论据的一些基本原理。
公理：通用概念，不需要证明。
公设：在某一专用领域使用的概念。

直觉和归纳法

亚里士多德认为知识的获得依赖于感官的知觉，形成记忆并通过经验发展为知识。

"知识是从感官的知觉发展而成的。"

直觉归纳

亚里士多德提到的直觉归纳是从个别推向一般的过程，强调这种方法依赖于直觉。

逻辑三定律

亚里士多德提出了归谬律、排中律和同一律，这些逻辑定律是推理的基础：

定律	描述
归谬律	不允许自相矛盾。
排中律	两个相反的叙述不可能同时为真，也不可能同时为假。
同一律	每个词必须指示可以理解的某物，不能混指多个事物。