2020复习——矩阵快速幂

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快速幂

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本文介绍了一种结合矩阵快速幂与动态规划的方法来高效解决特定类型的问题。通过定义适当的转移矩阵，并利用快速幂减少计算复杂度，适用于求解大规模状态转移方程。文章包含完整的C++代码实现及解释。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib> 
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f

int n, m, ans;
int f[105][105];
int p = 1e9 + 7;

struct Mat {
    int t[55][55];
    Mat() {memset(t, 0, sizeof t);}
} x;

Mat Mul(Mat a, Mat b) {
    Mat c;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
    for (int k = 1; k <= m; k++)
        c.t[i][j] = (c.t[i][j] + (ll)a.t[i][k] * b.t[k][j] % p) % p;
    return c;
}

Mat Pow(Mat a, int b) {
    Mat c;
    for (int i = 1; i <= m; i++) c.t[i][i] = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) c = Mul(c, a);
        a = Mul(a, a); b >>= 1;
    }
    return c;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    n >>= 1; m >>= 1;
    f[1][m - 1] = f[1][m + 1] = 1;
    for (int i = 2; i <= (m << 1); i++)
        for (int j = 0; j <= (m << 1); j++) {
            if (j - 1 != m) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - 1]) % p;
            if (j + 1 != m) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j + 1]) % p;
        }
    for (int i = 2; i <= m; i++) x.t[i][i - 1] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) x.t[m + 1 - i][m] = f[i << 1][m];
    x = Pow(x, n);
    printf("%d", x.t[m][m]);
    
    return 0;
}