5、概率理论基础与应用示例

概率理论基础与应用示例

1. 不确定性与概率理论的重要性

在模式识别领域，不确定性是一个关键概念。它主要源于测量中的噪声以及数据集的有限性。概率理论为量化和处理这种不确定性提供了一个一致的框架，是模式识别的核心基础之一。当它与决策理论相结合时，即使我们所拥有的信息可能不完整或模糊，也能帮助我们做出最优预测。

2. 概率理论基础概念引入

2.1 简单示例

为了引入概率理论的基本概念，我们考虑一个简单的例子：假设有两个盒子，一个红色，一个蓝色。红色盒子里有 2 个苹果和 6 个橙子，蓝色盒子里有 3 个苹果和 1 个橙子。我们随机选择一个盒子，然后从该盒子中随机选取一个水果，观察水果种类后将其放回原盒子。假设我们重复这个过程很多次，其中选择红色盒子的概率为 40%（即 4/10），选择蓝色盒子的概率为 60%（即 6/10），并且从盒子中取出水果时，每个水果被选中的可能性相同。

2.2 随机变量定义

在这个例子中，所选盒子的身份是一个随机变量，用 B 表示。它可以取两个可能的值：r（对应红色盒子）或 b（对应蓝色盒子）。同样，水果的身份也是一个随机变量，用 F 表示，它可以取 a（表示苹果）或 o（表示橙子）。

2.3 概率的定义

概率被定义为在总试验次数趋于无穷大时，某一事件发生的次数占总试验次数的比例。因此，选择红色盒子的概率为 4/10，选择蓝色盒子的概率为 6/10，可表示为 p(B = r) = 4/10 和 p(B = b) = 6/10。根据定义，概率必须在区间 [0, 1] 内，并且如果事件相互排斥且包含所有可能的结果（如在这个例子中，盒子要么是红色要么