hdu-2256-共轭数+矩阵快速幂

最新推荐文章于 2021-04-12 14:56:44 发布

alusang

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分类专栏： HDU

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂求解特定递推序列的方法。通过构造矩阵并利用快速幂运算加速计算过程，有效地解决了给定类型的递推问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先我们可以自然地发现原式 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2n}=(5+2\sqrt{6})^{n}$

然后联想到共轭数的性质想到 $(5+2\sqrt{6})^{n}=A_{n}+B_{n}*\sqrt{6}$ ，并且 $(5-2\sqrt{6})^{n}=A_{n}-B_{n}*\sqrt{6}$

那么 $(5+2\sqrt{6})^{n}+(5-2\sqrt{6})^{n}=2A_{n}$ ，也就是说 $(5+2\sqrt{6})^{n}=2A_{n}-(5-2\sqrt{6})^{n}$

因为 $0<(5-2\sqrt{6})^{n}<1$ ，这样把上式取整得 $(5+2\sqrt{6})^{n}=2A_{n}-1$

（ $A_{n}$ 是整数部分， $B_{n}$ 是非整数部分的系数，再说下共轭数的性质还有一个 $(5+2\sqrt{6})^{n}*(5-2\sqrt{6})^{n}=1$ ）

那么再去想如何求 $A_{n}$

我们可以设 $F(n)=(5+2\sqrt{6})^{n}=A_{n}+B_{n}*\sqrt{6}$

那么 $F(n-1)=(5+2\sqrt{6})^{n-1}=A_{n-1}+B_{n-1}*\sqrt{6}$

由此得 $F(n)=F(n-1)*(5+2\sqrt{6})=(A_{n-1}+B_{n-1}*\sqrt{6})*(5+2\sqrt{6})$

最终得到递推式 $F(n)=(5A_{n-1}+12B_{n-1})+(2A_{n-1}+5B_{n-1})*\sqrt{6}$

也就是 $A_{n}=5A_{n-1}+12B_{n-1}$ $B_{n}=2A_{n-1}+5B_{n-1}$

构造矩阵得 $\begin{pmatrix} 5 & 12\\ 2& 5 \end{pmatrix}*\binom{A_{n-1}}{B_{n-1}}=\binom{A_{n}}{B_{n}}$ ，且 $A_{1}=5$ ， $B_{1}=2$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long int ll;
const ll mod=1024;
int t;
ll n;
ll s[2][2];

void mult(ll a[][2],ll b[][2])
{
    ll c[2][2]= {0,0,0,0};
    for(int k=0; k<2; k++)
        for(int i=0; i<2; i++)
            for(int j=0; j<2; j++)
                c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
    memcpy(a,c,sizeof(c));
}

void quick(ll x)
{
    ll T[2][2]= {5,12,2,5};
    while(x)
    {
        if(x%2) mult(s,T);
        mult(T,T);
        x/=2;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        s[0][0]=s[1][1]=1;
        s[0][1]=s[1][0]=0;
        quick(n-1);
        ll A=(s[0][0]*5%mod+s[0][1]*2%mod)%mod;
        printf("%lld\n",(A*2-1)%mod);
    }
    return 0;
}