72、多重检验中的错误发现率控制

多重检验中的错误发现率控制

1. 控制错误发现率（FDR）

1.1 FDR的定义与计算

首先，定义 (C_{k}(i) = \bigcup_{v + s = k}C_{v,s}(i))，其中 (C_{v,s}(i)) 表示在拒绝 (H_{i}) 的同时，还拒绝了 (v - 1) 个真实原假设和 (s) 个错误原假设的事件，即总共拒绝了 (k) 个假设。接着定义 (p_{ijk} = P\left[\left(P_{i} \in \left(\frac{j - 1}{m}\alpha, \frac{j}{m}\alpha\right]\right) \cap C_{k}(i)\right])，由此可得 (\sum_{k = 1}^{m}p_{ijk} = P\left[\left(P_{i} \in \left(\frac{j - 1}{m}\alpha, \frac{j}{m}\alpha\right]\right) \cap \left(\bigcup_{k = 1}^{m}C_{k}(i)\right)\right] \leq \frac{\alpha}{m})。

FDR 的计算公式为 (E\left[\frac{V}{R}\right] = \sum_{i = 1}^{m_{0}}\sum_{k = 1}^{m}\frac{1}{k}\sum_{j = 1}^{k}p_{ijk} = \sum_{i = 1}^{m_{0}}\sum_{j = 1}^{k}\sum_{k = j}^{m}\frac{1}{k}p_{ijk} \leq \sum_{i = 1}^{m_{0}}\sum_{j = 1}^{k}\sum_{k = j}^{m}\frac{1}{j}p_{ijk